CHAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS

tenant, en dénominateur, le facteur évanouissant <3'(B — A), il est

certain que ce second membre doit s'offrir sous la forme -: il sera ^ o

donc remplacé, en chacun de ses termes, par le rapport des dérivées prises relativement à (B — A), et l'élément simple se changera en^(u — b,„). La même circonstance aurait lieu si B — A était une période.

Le premier membre de (29) n'est pas doublement périodique. Si l'on change u en («-j-aw), il se reproduit, multiplié par la quantité 6^^'^""*^ indépendante de u. C'est aussi par cette même constante que se multiplie, en même temps, chaque terme du second membre (29).

On le voit, la quantité (B — A) caractérise assez le premier membre, quel que soit le nombre de ses facteurs, pour qu'on puisse immédiatement en déduire la fonction analogue, mais composée d'un seul facteur

de telle sorte que le premier membre pourra s'exprimer par la somme

Dans cette somme, chaque terme reproduit un des infinis de la fonction proposée. Le coefficient K correspondant est le résidu, relatif à cet infini ; c'est effectivement ce qu'on voit d'après la forme du coefficient dans (29), mais aussi ce qui est évident par ce fait que o{ii), pour u = o, a l'unité pour résidu, c'est-à-dire

lim[u '.^{11)1,1=0= I.

Multiplicateurs .

La propriété qui consiste à se reproduire multiplié par un facteur constant quand la variable s'augmente d'une période appartient à des fonctions un peu plus générales, dont voici le type :

Elles ont, de plus que les précédentes, le facteur eP". Les multiplicateurs ou facteurs constants par lesquels celte fonction se

multiplie quand on augmente u des deux périodes distinctes 2 w, 2Cjl)' sont

(3l) |J. = e2r,(B-A)+2pu^ ,/ — g2r/(E-A)-t-2pw.

Introduites dans l'analyse par M. Hermite, ces fonctions ont reçu de lui le nom àe fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

Les deux multiplicateurs sont quelconques; on peut trouver des fonctions pour lesquelles ces multiplicateurs soient à volonté. Effectivement, si ]x et [j.' sont donnés, les équations (3i) feront connaître (B — A) et p ; ce sont deux équations du premier degré, où

le dénominateur commun est roj' — r/Lo = i -, et voici la solu-

tion :

(S'i) i-o = r, log;/.' — r/loga. i-(B — A)=oj'log;j. — ojloga'.

Il faut avoir soin de noter à part le cas où B — A serait une période ( 2/;ia) + 2/?ï'cl)'). Ce cas aurait lieu si (logu — im'i~) et (logiJi.'+ imir.) étaient proportionnels à co et co'. A cause de Tindétermination de la fonction logarithmique, c'est en un mot le cas où les multiplicateurs ont des lo garithmes proportionnels aux périodes qui leur correspondent. La fonction F{;/), ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure, est simplement alors le produit d'une exponentielle par une fonction doublement périodique ordinaire.

Décomposition en éléments simples.

Laissons de côté ce cas particulier, et, (B — A) n'étant pas une période, prenons l'élément simple 'f («), modifié par le facteur exponentiel

D'après l'égalité (29), nous aurons

U s'agit de reconnaître comment cette décomposition en éléments simples se modifie, quand les infinis h ne sont pas tous distincts, quand, par conséquent, il s'en trouve qui soient multiples.