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En prenant successivement, pour r, — a,, — a^, — r/;j, on aura

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Multipliant les trois premiers membres ainsi obtenus et, en même temps, les seconds membres, on obtient

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On peut, dans la formule (36), comme aussi dans cette dernière, supposer égaux entre eux les arguments a, et l'on voit que toutes les puissances, à exposants entiers, des fonctions de seconde espèce, s'expriment linéairement par des fonctions de cette nature et leurs dérivées.

Cas singulier des fonctions de seconde espèce.

Le cas singulier (' ), où les logaritlimes des multiplicateurs sont proportionnels aux périodes correspondantes, n'ofire pas de Ibnction nouxelle au point de vue théorique. Chaque fonction, dans le cas singulier, est simplement le produit d'une exponentielle eP"

(') Signalé à rulteiilinn par M. -MiUaf;-[.fnier (Comptes rendics de l'Académie des Sciences, l. \C, iSSo. p. 17''^).