CIIAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EX FACTEURS

par une fonction rationnelle de pu cl pu. Il est néanmoins utile, pour certaines applications, de mettre, pour ces fonctions, la lormule de décomposition en éléments simples sous une forme en rapport direct avec leur nature.

Soit/(?/) une fonction rationnelle de ))// dp' a, décomposée en éléments simples conformément à la formule (?i) :

En multipliant les deux membres par ^P", nous aurons l'expression d'une quelconque de ces fonctions singulières. Prenons maintenant pour élément simple, au lieu de J^, son produit par la même exponentielle :

ç.u<) = e?" lu.

( )ii aura généralement

jiar conséquent, la formule de décomposition pourra s'écrire ainsi

Sous le signe sommatoire figurent successivement tous les inlinis r« de/(M), et les dérivées cs'''^ jusqu'à l'ordre immédiatement inf(''rieur au degré de multiplicité de cet infini.

11 va de soi que, dans cette formule (3()), les coeflicients se déterminent, comme dans le cas général, par la partie fractionnaire du développement de f(u) suivant les puissances de [a — r„). Seul, le premier coefficient c doit être calculé à part. Mais il laut surtout remarquer que les coefficients A sont liés par une relation, traduisant l'égalité primitive

IV)ur avoir cette relation, revenons de la lorniule {'^()) à la iormulc primitive, ce Cjue nous ferons au moxen de la relation

'^•'{ a ) -^ e?" ( ;/' ^ u -- - p"'-' T » -r- . . . ] . On voit parla que le terme A,,,v '^^"'M « — v,,") fournit à la somme

L le terme A„^v î'' ^< ^/ — ^'n)e~^''". Il existe donc entre les coefficients la relation

(4o) ZA„,v?''^-?""=o.

Cette relation (4o) est d'ailleurs nécessaire pour que le second membre de (39) soit doublement périodique de seconde espèce. En effet, d'après la définition de 'f («), nous avons

^-2wp ç, ( « -^ 2 cô ) = ç> ( M ) -^ 2 ■?; eP" , Par conséquent, la fonction Çog) donne lieu à la relation

L'égalité (4oj est donc eN.igée pour que /(^n + -id) reproduise f{u), multipliée par le multiplicateur e-^9.

Cas où les multiplicateurs sont des racines de l'unité.

Ces cas n'offrent aucune exception à la théorie générale, mais l'élément simple est particulièrement intéressant. C'est celui que nous avons déjà rencontré (24).

Soient

2 n to -^ 2 n' oj' 2 n -r -+- 2 «' r'

\ j V ^ Il

n et n' étant des nombres entiers. Nous avons déjà vu que la puissance /?î' ™^ de/(M) est doublement périodique ordinaire. La fonction y (?f) doit donc avoir pour multiplicateurs des racines m'*'"**' de l'unité. Effectivement, prenons une période quelconque

2W = 2jDW -i- 2/)'co'.

Le multiplicateur correspondant, c'est l'exponentielle avant pour

exposant

/ - ~ 4 / , , N / , , s np' — n'p. 2(50) — (' T, I = — {np — 7ip)(r,(j} — r. to ) = — — 2nz.

Ainsi le multiplicateur ijl a pour expression

np' — n'p .

CHAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EX ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTELRS. 23o

c'est une racine m""™^ de Tunité. Nous avons déjà observé que ces fonctions particulières comprennent les trois radicaux \'pi/ — ^a et généralisent, par conséquent, les fonctions anciennes snu^cnu, dni^. A l'égard de ces dernières, on a vu (Cliap. II) qu'aucune d'elles n"a les périodes 210 et ato', mais que toutes se reproduisent multipliées par zh i, quand l'argument s'augmente d'une période . Ces faits concordent bien avec ceux que nous rencontrons maintenant.

Deuxième méthode pour le développement des fonctions

de seconde espèce.

Reprenons la fonction de seconde espèce et considérons sa dérivée logarithmique

(42) 't^^ = rrK-^D — r» — ^■,

qui, d'après la formule (V, i 5) d addition pour ^, peut s'écrire ?'(«) ^ l P'ti — p'v ^

Conformément au théorème fondamental d'addition (p. acj ), on a donc

Mais, en prenant la dérivée dans les deux memljres de (42), on a aussi

Ajoutant cette dernière égalité, membre à membre, avec (43) et chassant le dénominateur, on obtient

(44) ?"( " j = ^ 2 p u-^pv)'i{u).

Cette équation, où l'on considérerait '-^(i^) comme une inconnue, serait différentielle linéaire et du second ordre. C'est un cas d'une équation très importante, à laquelle est attaché le nom de Lamé ; nous y reviendrons dans les applications. Nous voulons en faire

usage ici pour indiquer un procédé propre à former plus rapidement les coefficients successifs du développement de C2(«). Soit, comme précédemment,

Soit aussi, comme au Chapitre IV (p. 93),

,1^ " = — -i- Ci U- -i- C3 »+ -I- . . . + Cl m2>--2 -1- . . . .

La substitution de ces développements dans (44) conduit aux équations successives que voici :

P2-f-JM' = 0, P3 P3

Pr. , P. „ , P«

Il est à remarquer que cette méthode laisse indéterminé le coefficient P.j et, par suite, tous ceux d'indice impair. Ce fait provient de ce que Téquation (44) l'este inaltérée si l'on change a en — u. Comme nous avons précédemment trouvé P3 (3-), il n'y a là aucune difficulté.

l^e calcul devient encore compliqué assez rapidement, mais il est cependant Itien plus simple que par l'autre méthode. Pour faire suite aux iormules (3 7), voici quelques autres coefficients : nous mettons simplement p, p' au lieu de pr, pV.

P» =— 7 ,1'' — ■^■:f^i p- — 2^^3 j' -^ ~ gij

Pio=-OJ'^-2-3^g-2j3^-2^-3^.7g-3P^-3^5^1p-f- "^•^"•"'•'^^2^3,

Pll=— ,p'(5j3i-+-2.l3i':>Jl--f- J.2'^3p-f-32.17jri)

CHAP. Vn. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. 287

Ce développement a une très grande importance pour une des plus belles et des plus récentes applications des fonctions elliptiques. Il serait à désirer qu'on pût le former par des protK'dés plus simples.

Développement de - — ^^-^ c-"''' suivant les puissances

ascendantes de u.

(je nouveau développement a de l'analogie avec le précédent, mais il est beaucoup plus simple. Soit

En prenant les dérivées par rapport à // et c, on obtient

ôz âz

~ -\- ti z pv = o.

du (Jv

Si l'on pose ensuite

z = I-f- Al i< -I- A2 ^. . . H- A„ !-•••,

on a immédiatement l'équation récurrente

(47) ""^ ~d^> (« — i)A«-2jM',

par où les coefficients se déterminent très facilement :

As = — 2,p c p'c, Ar, = — 5[p3 (; -h\gi pv-^ 2^3,

(48) ^ A, = -pV(3p2^,|^.-,),

Ad = — p'c(4p»t' — igzpv^^gi),

Développement de ^a"*

Si Ton suppose pour v une demi-période, la fonction z qu'on vient d'envisager se change en l'une des trois fonctions "^^u. On a ainsi le développement de cette dernière. Les coefficients d'indice impair sont alors nuls; dans ceux d'indice pair, il faut remplacer j3(^ par (?a. Les coefficients sont ainsi des fonctions entières de g'2, g'3 et de la racine e^, dont on peut d'ailleurs rabaisser les exposants au-dessous de 3. On a, de cette manière,

On verra, au Chapitre IX, un procédé meilleur pour calculer les coefficients de ce développement.