LES SERIES

Avertissement. — Recherche d'une série ayant les mêmes propriétés que 7 u relativement à la périodicité. — Convergence; choix des périodes. — Démonstration directe de Téquation à trois termes. — Identification de la série avec ru.

— La série Hr^. Expression de t/o et de ru. — La série Sr^. Expression de ?, m. — La série .t?^. Expression de r^u. — La série Sr^. Expression de r,». — Résumé des relations entre les S? et les r. — Observations sur les séries .^. Diverses notations usitées. — Addition ces demi-périodes et des périodes dans les 2r.

— Séries & avec l'argument zéro. — Expression des trois quantités e 2 ' -oj par les 2r. Première identité. — Première expression de e,, e^, e^ par les S. Seconde identité. — Seconde expression de e,, e^, e,. Expression du discriminant. — Expression des S? par les r. — Changement des périodes : équivalence.

— Échange des indices de e,, e^, e,. — Changement des périodes dans les fonctions 2r. — Résumé des formules pour le calcul des fonctions r. — Calcul de q. Cas A > o. — Calcul de u, connaissant p u. Cas A > o. — Calcul de q. Cas A < o.

— Calcul de u, connaissant pu. Cas A < o. — Observations sur les cas particu-

liersoù (7 a les valeurs 6"", j'e '^ , ie - . — Expression de g'^ par les fonctions &. Remarques. — Fonctions elliptiques à invariants imaginaires. — Manière dont varient les fonctions 2r d'arguments réels.

Avertissement.

On trouvera, clan,s ce Chapitre, la représentation des fonctions elliptiques par les belles séries dont Jacobi doit être considéré comme l'inventeur, séries éminemment utiles pour les applications. Elles ne doivent être, en général, introduites qu'à la fin des calculs. Pour cette raison, les formules nombreuses et un peu compliquées qui vont être développées sont destinées à être consultées seulement. Il serait inutile de les retenir de mémoire; il suffit d'en bien connaître la nature.

2^0 PREMIÈRE PARTIE. — IHÉOKIE.

Recherche d'une série ayant les mêmes propriétés que -iu relativement à la périodicité.

La fonclion tm, à laquelle nous sommes parvenus en avançant progressivement dans l'étude des fonctions elliptiques, offre sur les précédentes X^u et pu l'avantage de rester toujours finie, quelle que soit la valeur attribuée à la variable. Aussi doit-on espérer pouvoir la développer en série plus aisément que les autres. Nous verrons bientôt comment elle se développe suivant la série de Maclaurin. Mais on doit désirer surtout un mode de développement qui fasse apparaître la propriété caractéristique

A cet effet, prenons la combinaison