CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES

nous avons

Si nous remplaçons aussi, dansy'(i/), la variable u par la variable

Zf en écrivant

ces deux équations deviennent

La dernière de ces équations éloigne, pour '■i(^), toute idée de développement à la manière de la série de Maclaurin, Elle fait naître, au contraire, la pensée de développer C2(^)en une série double comprenant à la fois les puissances à exposants entiers positifs et négatifs de z. D'ailleurs, d'après la première relation (G), la fonction est impaire, et l'on ne devra envisager que des exposants impairs. On doit donc essaver de trouver un dévclopjicment tel que celui-ci :

o{z)-- II nous donne

o{qz)-^

CiZ^ C^Z"^ — CsZ-' -^.

■ • • ^in+i 2/t+l

Par conséquent, la seconde relation (6) impose les conditions

Ci^ — ciq^, c^^—csg'*, 07 = — Ci^S Cj„4-3 = — Ciw-f-i^-'" '

Ci=— Cl, c'3 = — c'1^2, c'5= — c's^S ..., c\,/+, = — c;„.,72".

De là se conclut

c\ = -Cl,

c'a — — C3= Ci^rî,

c'j = — C; = — Cl g'''.

Nous trouvons donc, comme satisfaisant aux deux conditions (6), la série

En remeltant pour:; son expression en u^ invoquant la formule

d'Euler

g/a — Q-ia = ■2,1 sin a,

et changeant la notation du coefficient arbitraire c,, nous avons cette autre forme

sin q- sin g'' sin

I __, i)«^/«(/i-i-i)sin ...

s'ofTrant pour vérifier les deux relations (2).

Convergence; choix des périodes.

Il faut toutefois s'assurer que ces séries convergent. Or leur caractère de convergence est immédiatement visible. En considérant séparément les deux séries avant pour terme général l'une

-^ (yriiii + l) ^2n+l •

l'autre

— fjn[n+l> ,

ou une seule d'entre elles, comme on peut le faire par le changement de z en -7 on a

Le facteur qz- est indépendant du rang ?i] le premier facteur est ou infiniment petit ou infiniment grand, quand n est infiniment grand. Il faut et il suffit, pour la convergence, qu'il soit infiniment petit. Ce caractère, indépendant de ^, s'applique aux deux séries en lesquelles nous venons de décomposer o{z)\ donc la condition nécessaire et suffisante à la convergence de ^{z), c'est que la valeur absolue (module) de q soit moindre que l'unité.