CHAPITRE VIII. — LES SÉRIES ST
Cette condition satisfaite, la série converge très rapidement, quelle que soit la valeur de z-. Est-elle satisfaite par la valeur (3) qu'il nous faut ici assigner à g?
Si le discriminant est positif, il v a un couple de demi-périodes où to et " sontréellesetpositives.Pource couple, Texposant — est réel et négatif; q est réel, moindre que l'unité.
Si le discriminant est négatif, on peut prendre
Oi = 0):>, tO = ' ^ 1
et l'on a, en ce cas,
On voit que 4 est réel, moindre que l'unité. Par ces choix, la
série convergera, et déplus, ne contenant que les puissances paires de <7, elle sera réelle quand a sera réel aussi.
Il y a une infinité d'autres manières de choisir to et oj' pour rendre la valeur absolue de q inférieure à l'unité; nous v reviendrons. Pour le moment, fixons les idées en faisant le choix dont nous venons de parler dans le cas où le discriminant est positif. Mais, dans le cas opposé, prenons
CO = tOi = ^- ( COo — to'o ),
tù^ — W.,
Oi
tOj =
TZ
Wj
- Wi,^
omme too et -;^ sont réels et positiis, on voit que la valeur
absolue de q est égale au dernier facteur, dont l'exposant est réel et négatif; elle est donc moindre que l'unité.
De cette manière, il sera entendu, dans les deux cas du discriminant, que les indices des e correspondent à co, co', oV comme nous l'avons toujours supposé jusqu'ici
ei — pixi, eo^ puy"= p{M-\-w'), Ca^pw'.
En choisissant q comme nous venons de le dire, nous avons trouvé une série convergente /(?^), qui possède, en commun avec la fonction (i), les propriétés (•>.). Ces deux fonctions coïncident-
244 PREMIÈRE PARTIE. — inÉORIE.
elles en effet, sauf le choix du coefficient C, indépendant de ;/? Voilà ce qu'il faut savoir.
Pour montrer la coïncidence des deux fonctions, nous prendrons la série elle-même, et, par elle seule, nous remonterons à la définition de pu.
Démonstration directe de l'équation à trois termes.
Pour la commodité du calcul, modifions un peu les notations dans 'f (-^)- Ecrivons
iTZ
q=x'*, e2w=j, z=^y", et prenons la fonction — 'f (-), que nous pouvons écrire ainsi
le signe sommatoire s'étendantà tous les nombres impairs positifs ou négatifs, mis à la place de m. Effectivement xq"''"'^^^ devient une puissance de x^ dont l'exposant est
4n(rt — I) ~i = (2« -T- 1)- = m-.
La série F(«) est absolument convergente, sous la seule liypollièse que la valeur absolue de x soit inférieure à l'unité. INous faisons celte hypothèse, celle-là seulcjnent, nécessaire à l'existence de F(w). Avec cette unique définition de F(«), nous allons vérifier l'exactitude de la relation fondamentale, reconnue déjà pour a';^(VI, 43).
Considérant les trois produits
B^¥{c~a)¥(c-ha)Fib—d)¥(b-i-d), C = ¥{a — b)¥{a-^b)¥{c — d)F{c-T'd),
nous allons, dans chacun d'eux, effectuer la multiplication des séries qui représentent les fonctions F, et reconnaître que tous les termes se détruisent dans la somme S = A -|- B -)- C.
