FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES COUPS

Représentation elliptique des cosinus des angles d'une droite avec trois axes rectangulaires. — Droites perpendiculaires. — Trièdrc trirectanglc. — Sur la délîomposition d'une somme en un produit. — Composition des trièdres trirectangles. — Angles d'Euler. — Expression du produit cosa^: cosô^ cosc;;. - Expression des cosinus sous forme explicitement réelle. — Formules pour la composition des trièdres. — Expression des angles d'Euler. — Expression des cosinus et des angles par les fonctions 2r. — Expression des cosinus par des séries. — Développement des angles d'Euler en séries. - Formules de cinématique. — Représentation elliptique d'une rotation.

Représentation elliptique des cosinus des angles d'une droite avec trois axes rectangulaires.

Soient

M, V des arçumciiLs elliptiques quelconques;

(Oa une demi-période ;

G une rpiantilé arbiliiiiro.

Déterminons trois angles ax, ny^ az par les formules

cosor^ = e' ,

:^ u :iv

(i) . cosflJT -^ i cosa)' = (j e '*

I 3'( ?/ — i- -T- (03( I ^'(ojt r,,^U'-u-Wa)

cosaj" — I cosav = y^ e '

Ces trois angles sont ceux qu'une droite a fait avec trois axes rectangulaires x^ t, z. Effectivement, nous pouvons conclure de leurs expressions (i) les égalités suivantes (t. I, p. 191) :

— ey

OJgf 1 —

Wx) —

1 cos- ar -T- co5-ar = ^^

i ■" p(r — toa»

cos^ajc — cos-a/ -^cos-az = i.

Ce mode de représentation, qui joue un rôle dans les applications mécaniques, va donner lieu à une étude approfondie. Nous V considérerons to^ comme étant une quelconque des trois demipériodes, u et V comme variables. Dans ces conditions, nous devons d'abord examiner la réalité des trois angles.

La première formule (2) montre d'abord que les racines e^ doivent être réelles. Il s'agit donc de fonctions elliptiques à discriminant positif. Les fonctions J3«, p{v — w^) doivent être réelles aussi; les arguments u^ v sont donc ou réels ou jDurement imaginaires, à des demi-périodes près (t. L p. Sg ).

En posant, comme au Tome I (p. 190),

on peut écrire l'expression ( i i de cosaz sous la forme

(4> cosrt; = Li —

Suivant la manière dont est choisie la demi-période tOa? ^a ^ toujours pour expression

v/(.ea— ep;(ea— eyj et reproduit, sauf le signe qui peut différer, lune des trois quan-