CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS

lilés U-, U'-, U"- (l. I, p. 194)5 dont deux sont réelles et l'autre purement iniaj^inaire. Il est donc inij^ossible que «et r soient tous deux réels ou tous deux purement imaginaires, on l'un léel, l'autre purement imaf;inaire. Eu eflel, les fonctions c'a étant paires et d

étant impaire, les trois quantités ^^!-^' — ^^^ seraient, toutes trois, de

même espèce, ou réelles ou purement imaginaires; Tune, au moins, des formes que pourrait j)rendre le cosinus serait donc imaginaire. Une, au moins, des deux fonctions jj//, pv est donc entre C3 et c-i ou entre e-i et e^. Supposons pu compris entre e-^ et e^.

Parmi les quatre intervalles ( — oc, 63), (e», ej), (eo, <?,), (e,,-i-x), le troisième seul peut alors contenir pv. C'est ce qu'on voit par la première formule (2). EfTectivement, si pv est dans le premier intervalle, alors j3(t^ — toa) est dans ce même intervalle, co;, étant la demi-période purement imaginaire, nommée aussi w'; j)« — e^ est j)Osilil., p(c — 0)3) — c-i négatif; cos-rt:; est négatif pour l'iivpoihèsc oJa = ^'>\' Si J3(' est dans le second intervalle, J3(r — (Oo) est dans le quatrième et cos-«:; est négatif pour Flnpothèse (jj» = <'^2- Si j)r est dans le quatrième intervalle, J3(f — 10,) sy trouve aussi et cos-«:; est négatif pour Thypothèse w^ = oj,. Ces différents cas sont donc impossibles. Au contraire, si pv est dans l'intervalle (62,^1), p((' — w,)etjD((' — (Oo) sont dans le premier intervalle et cos-rt:; est positif, inférieur à l'unité pour o^^ r= (o, ou (0^5 }^{y — CO3) est, dans l'intervalle (^2,^,), comme pe, etcos-c/c est encore positif, inférieur à l'unité jjour l'hypothèse 10^= (O3.

En raisonnant d'une manière toute semblable et renversant Tordre des intervalles, on verra que, si pu est dans l'intervalle (<?2> ^K )■, P^' est alors dans l'intervalle (e^, Co).

En résumé, quelle que soit la demi-période w^, si l'on |)rend pi/ et j)t', l'un dans l'intervalle (^3,62), l'autre dans l'intervalle (Co,*?)), Tangic «;, défini j)ar la première formule (i), est réel,

U est facile de voir comment doit être maintenant choisi G pour la réalité des angles «x, ay. Remarquons d'abord, pour les secondes formules (1), une forme analogue à (4); c'est la suivante :

[ cosax ~r- i cos ay :^ — O U i —

i cosaj; -T- i cos ay =-^ — ulj

I ,.., :fy,( u — V ) cos ax — i cos ay =^ tt Uâ — '— — z

4 DEUXIÈME PAIITIF.. — APPLICATIONS.

On voit parla que raltéralion de Wa, au moyen de Taddilion d'une période, peut modifier seulement les signes des seconds membres. Il sera donc permis de raisonner sur trois demi-périodes distinctes, prises à volonté.

En désignant par lo,, et to,, deux demi-périodes, l'une réelle, l'autre purement imaginaire, on aura, pour ii et ç, les expressions

(6) u = io„-^u', f = (.0,,-i- (•'.

D'après ce qui vient d'être reconnu pour la nature de pu et jdc, on voit que u' et v' peuvent être supposés, l'un réel, l'autre purement imaginaire, comme cl)„ et lo,,, mais en ordre opposé.

Par le théorème d'addition des périodes dans la fonction ci* (t. I, p. i8o.), on a

3'(« 4- c — tot-) = :f( n ^ f'-+- w„) =— :^{u'-^ v' — a}„)e"''" ""*''''. En supposant donc oj^ ^ Wi- on aura

co?ar -^ i cosorj' 'riiu -^ v — o)») 2r„/M'+p')+2r,„(H'-<-(i)ui)

cosaar — l'coso}' a'(zt — t^'-(-a)„)

Les deux quantités cosaa^zlricosaj', ayant leur produit réel (2), sont imaijinaires conjuguées sous la seule condition que leur quotient ait pour valeur absolue (module) l'unité. Or, à l'égard du quotient des deux fonctions a", au second membre, il en est bien ainsi; car les arguments de ces fonctions sont conjugués ou conjugués au signe près, ce qui revient au même, puisque 3" est une fonction impaire. Il reste à retenir, dans l'exposant de l'exponentielle, les seuls termes réels, qui sont 2rj„^''-r 2r,(,a'. Ainsi, pour la réalité des angles ax et ay^ on doit choisir G de telle sorte que

G'f,u l'-i-Vii."'

ait l'unité pour valeur absolue.

A cause de la svmétrie, cette conclusion subsiste si l'on suppose ojj^ =: (j)u. Si enfin on suppose oja^ = io„ -i- w^, on aura

cosax -^ icosay „, 3'(ïf'-4- 1-'') 2(r,„+r,„)(H'H-w„)

cosax — jcos«j' ^{u — f-T-2 0j„)

p., ^(u -^ V ) 2 rn,H '-4-2 •/;„i''-^2r,^,(j)u

G-fu — v )

et la même conclusion subsiste encore.

CHAI'ITRE I. — FÛUMLLES ELLIPTIQIES l'OLIl LA KOTATION DES COUPS.

Droites perpendiculaires.

Supposons maiiilcnaiil une seconde droite b^ délermiuéo, en direction, d'une manière analogue, les angles 6x, by^ bz étant définis par des égalités analogues à (i), où G n'est pas changé, mais où o^ est remplacé par tOg.

Nous allons prouver que les droites a et b sont perpendiculaires. Ce se,ra ici une application de la décomposition des fonctions de seconde espèce en éléments simples, pour le cas d'un pôle unique, mais double (t. I, p. 23o).

Prenons la formule de décomposition, savoir :

1 s'a! j'rto j - u

Soit d'abord «, = to^, «2 = Wg, p = ^«i + ^«2 = '''la -•- '^ïq- Ce sera le cas signalé (t. I, p. 23o) où la formule de décomposition se réduit à un seul ternie.

Désignons par ^'(;^) l'élément simple répondant à ces suppositions

Nous aurons

( q) ^ ^ g<^a+0?'« ^ xp'( n ).

a'co-xjojg a'='«

Faisons, dans la formule générale (7), une autre hypothèse : a^ = ç — (Og, rto = ti^a — ^7 p = '^ia — '^3- L'élément simple ^{u) peut s'écrire alors sous cette forme (t. I, p. 188)

'(m — Wa — tOo) ,

Nous avons, en conséquence,

( a'(o)x-4- Wo) s-ù/ — p-H Wo)3'(?/ -4- r — wx)

p,.,»^, .ua; ^ ^^ ^^

(lo) ^ a'(i' — wa)3'(r — Wp) r-f/

( = - W'(«) + f Ç(i^ - t^p) - :(v' - wa) + r..^ - r.^]»r( «).

Echangeons les indices a et ,3, puis ajoutons la nouvelle égalité, membre à membre, avec l'égalité (10)5 il ne reste au second membre que W\u). Remplaçons W'(i/) par son expression (9) et nous aurons la relation suivante :

-\:ï(u — r -4- wâ) j (î/ -4- (' — (-05,)e '* '•

(11) ,' -h3'(î<— <'-!-to.^ ) 3- (?< -4- r — Wp)e' '■'•'"'■''■'•"]

o'io^a'wc

Il suffît de chasser les dénominateurs, de diviser par rf-^/ rf-ç', et de multiplier par le facteur commun e ^'''^" ^'■^'^^ pour changer l'égalité (11) en celle-ci :

(cosbx — icosby)(cosax -h icosay)

-~{cosbx -h i cosby){cosax — icosay)-\-icosaz cosbz = o,

qui prouve la perpendicularité des deux droites a et b ; car elle se réduit à

cosax cosbx-\~ cosay cosby -+- cosaz cosbz = o.

Trièdre trirectangle.

Dans l'analvse précédente, les deux demi-périodes oj^, «jJp ont été supposées distinctes, à des périodes près. Sans cette supposition, les résultats seraient inexacts ; les raisonnements seraient d'ailleurs sans valeur, la formule (10) devenant illusoire.

Comme il v a trois demi-périodes distinctes, on peut, par le moyen des formules (i) représenter les angles que font avec les