CHAPITRE X[V. -- IMÉGHALES PSEIDO-ELLIPTIQUES

c'csl-ù-dirc

En conséquence, l'intégrale

est pseudo-elliptique. On voit, de plus, qu'on rend le fait évident

en prenant pour variable j'^ ; en cfTct, on est assuré par avance

de l'égalilé

dx dy

Par ee moyen, l'intégrale (94) est immédiatement connue. On verra aisément que ce même moyen réussirait pour les intégrales analogues, relatives aux quarts, aux sixièmes, aux huitièmes de période, etc.; mais il échoue pour les intégrales relatives aux tiers, aux cinquièmes de période, etc., comme il apparaît déjà par l'intégrale (yS).

Une autre remarque de la même nature a été faite encore par M. Goursat et par M. Raffy ('), relativement à des intégrales où X est un polynôme quelconque du i|uatrième degré. Par les mêmes raisons que tout à l'heure, on voit que R('') donne lieu à une intégrale pseudo-elliptique, si l'on a

R(aj-^ u) = — \\{u).

Les variables x et y, qui répondent aux arguments u et m -f- //, sont liées par une relation doublement linéaire ou, en d'autres termes, se déduisent l'une de l'autre par une substitution linéaire (fractionnaire). C'est une quelconque des trois substitutions qui échangent les racines de X par couples et dont nous avons donné la forme (p. 362). En conséquence, si une fonction rationnelle /a, pour deux variables x etjK, bées par une de ces trois substitutions, la propriété

(') Bullclin de la Société malhcmaluiue de France. I. XH, p. h.

646 DEUXIÈME PARTIE. — ArPLlCATIONS.

rinlrgralc de fy.r)'.\\ est pseudo-clliplique. Supposons, par

exemple,

et soll 'i une fonction rationnelle; on pourra choisir

., . , . \{a — b){a-c)'\ f{x) = o{x - a) — o I yZT^^ J •

En prenant alors pour variable

on mettra en évidence la possibilité d'effectuer lintégration. Il n'y a pas lieu d'insister plus longuement sur ces cas particuliers.

Conclusion .

Par l'analyse qui précède, nous avons donné, de la manière la plus générale, le moyen de construire dirpctcmcnt\cs intégrales pseudo-elliptiques. A ce sujet, on peut proposer, sous des formes diverses, des problèmes précis. Abel avait ainsi posé et résolu le problème de trouver toutes les différentielles de la forme V\.dx '. v^X, oii R e^ X sont des fonctions entières de x, dont les intégrales puissent s^ exprimer par une fonction de la forme

(95) log- — 7^ = log/.

En nous restreignant au cas où X est du quatrième degré, nous avons résoki le même problème, R étant une fonction rationnelle. La solution consiste à prendre arbitrairement une fonction L, de la forme (84), et à calculer la fonction simple T; on a alors R = 2L-f-T.

Voici maintenant un autre problème : R étant donné [ainsi que X), reconnaître si Vintégrale de R : y X est pseudo-elliptique. Nous avons d'abord montré que, dans le cas de l'affirmative, R se décompose ainsi :

R = v^X ^ (P y/X) ^ vL -^ vi Li + . . . ,

cnAriTRi: xiv. — intégralks pseudo-elliptiques. tMj

(Je telle sorte f[iie, j)Our eliaque partie L, rintégralc de L : y X ail la forme (gS). Si cette décomposition était faite, le problème serait entièrement rt'solu : j)our chafjnc jiarlie L, on calculerait la fonction T que l'on devrait trouver idenliquemenl nulle. Mais il n'en est point ainsi. La séparation de la première partie de R est assurée et l'on obtient la fonction réduite

(96) S = vL — V, L,-i-

11 faudrait y trouver les fonctions partielles L, L,,. ... Eu égard aux conditions que doivent remplir les numérateurs des fractions simples dans une même fonction L, de la forme (84), la répartition des diverses fractions de S entre diverses fonctions L ne peut, 11 est vrai, être faite que d'un nombre limité de manières; mais chacune de ces fonctions L n'est ensuite déterminée, elle-même, qu'à un facteur entier près. Si Ton écrit, en effet,

m nix

et que ///, m^, . . . soient des entiers, les fonctions niLi, m, L, , . . . ont, comme L, L,. .... la forme exigée (84)-

Le problème n'est donc pas actuellement résolu; il faut s'y arrêter.

Supposons, dans le second membre (96), le nombre des parties L réduit au minimum, ce qui a lieu lorsqu'il ne se trouve point deux coefficients v, v,, dont le rapport soit commensurable. Par l'analyse employée (p. 63o), on voit que, pour chaque parlie L, le quotient L : y/X, multiplié par un entier inconnu m. doit être la dérivée de log/. Il doit donc en être autant pour le quotient T : ^ X, où T est la fonction complémentaire de L, et cette condition est suffisante aussi.

On est donc ramené au problème proposé, mais pour de nouvelles intégrales qui, séparément, doivent être pseudo-elliptiques : dans chacune de ces dernières, la fonction rationnelle a la forme simple T, qu'on peut réduire à une fraction dont les deux termes soient du premier degré, ou encore (par une substitution linéaire) à un binôme du premier degré.

Ici s'arrête la solution. Pour chaque nombre entier /?«, à vo-

lontc, on pourra bien, par des opérations limitées, reconnaître si. oui ou non, niT '. \/X. est la dérivée de lo^y. Mais, tant que ces opérations auront fourni des réponses négatives, la solution ne sera point acquise.

N'est-il donc point possible de résoudre ce problème par des opérations dont la fin soit assurée? C'est, en effet, la conclusion qui semble devoir être admise. La condition que doit remplir la racine du dénominateur de T, c'est que l'argument correspondant soit commensurable avec une période. En général, deux nombres étant donnés, que l'on peut calculer avec une approximation indéfinie, le problème de reconnaître si leur rapport est commensurable présente ces mêmes circonstances : on ne peut assigner aucune limite au nombre des opérations nécessaires pour qu'il soit permis de conclure négativement.