X - ~ ili — ^ix\{x — Xi)]-^-^(x — Xi)\ qui donne

G ^ /■v'3[i-|j-H'^ — -^i)]. II =1, ^ = {x — x^y, et, suivant la formule (89 i,

De là se concluent les deux intégrales

-Si^îV'i f'^^f^ 4^ = F(:r)-i-02F(0x)--0F(0'-^),

On a déjà vu ( p. 279) qu'avec les invariants g.^ =0 et ^3 ^ — i on a

En vertu de rhomogénéilé, on conclut, pour le cas actuel, que X est égal à 2 pour un argument égal à un sixième de période. Effectivement, X s'écrit aussi sous la forme (Sg),

9X = (x~ i)'* — {x — if{x-{-i); d'où résulte l'intégrale

ri I \\ dx . (1-+- 3?)2 — 3 v/x ,. ,

On en conclut

(•) CeL exemple remonte à Eulcr. ( Voir, dans le Bulletin de la Société mathématique de France, un article de M. Gunlher, t. X, p. 88; 1882.)

Rien ne serait plus aisé que de former, avec ce même polynôme X, d'aulres exemples analogues, au moyen des racines de ^i{u), ^ô{ii)^ .... Ne nous y arrêtons pas.

Le dernier exemple a exercé souvent la sagacité des géomètres. Parmi les artifices employés pour calculer cette intégrale, le plus simple est fondé sur une remarque intéressante, faite par M. Coursât (*). Soit/ une fonction rationnelle; l'intégrale

est pseudo-elliptique, comme il est évident si l'on prend x^ pour variable. Elle rentre, d'ailleurs, dans noti-e théorie; car, l'inversion (92) étant faite, la fonction R de l'égalité (79 ), où ç est nul, a la propriété exprimée par les relations

où B est encore une racine cubique imaginaire de l'unité. En se souvenant que, pour le cas actuel, on a

on en conclut que, dans la seconde ligne (79), la somme des coefficients est nulle; que la première ligne se compose de termes

— Ç(m -4- ui ) — ^(u -h Oui) — C(« — 0^i<i)],

où la somme des pôles ?<, -h 0 W) H- 0- Wi est nulle; enfin, que la constante c est nulle aussi. Ces conditions sont suffisantes pour que R donne lieu à une intégrale pseudo-elliptique. Il est donc vérifié que la fonction R(«), provenant dey(^^) : x, satisfait aux conditions requises. Il en est donc autant de R(if -h to), to étant une demi-période. Soit j^ la variable dont l'argument est u -\- (X)', soit aussi — a la racine de X qui répond à w, c'est-à-dire que a est une racine cubique de l'unité. La formule d'addition des demipériodes donne la relation

{x -h a.)(y -^ a) = 3x-, (') Bulletin de la Société mathématique de France, t. XV, p, ii5; 1887.