I , , TT

y Q^ m to H -. [ Tj ( oj — ■ co' ) — to ( tj — r, )] =: 7?i oj •

On peut donc prendre à volonté m positif de manière à assigner à •/o un signe arbitraire, tandis que (-7^) ^ '^^ 71 (26) est une

quantité positive.

Ainsi, les deux cas représentés par \es Jig. i et 2 s'offrent eff'eclivement quand la base est un hyperboloïde à une nappe et que l'essieu de la polhodie est le grand axe de l'ellipse de gorge.

Ces deux cas exceptés, l'herpolhodie aff"ecte nécessairement une des formes représentées par \es Jîg. 3 el 4) suivant qu'elle a ou non des points d'inflexion (').

(') Les formes représentées par les Jig. i, 2, 3, 4 se modifient profondément,

CJIAPITIU; II. — I.KS MOI \EMi:.MS A l.\ l'OINSOT. 63

Au cas de l'iiypcrboloïtlr à ime nappe, où l'on doil avoir c* > ^- > //- > o > a-, d l'on fait a'- = — r/'-, on reconnaît ([iie — ry. '/r'T,-, a le si^nc Fig. 3. Fio, ^.

moins, tandis nue — z'x^ /i^T-, a le sit-ne de -rr

quand la base est un liyperboloïde à une nappe

-^•Ai

et que l'essieu de la polhodie est l'axe non transverse, la condition pour l'existence des points d'inflexion est

Au cas de l'hyperboloïdc à deux nappes, b- et c- doivent être négatifs; soient b-= — b'-, c- = — c'- et />'-< c'-. Les deux quantités — z<j.^li^T:i et — su'/i^To ont, la première, toujours le signe

plus ; la seconde, le signe de — -j- -;7^ — jj^- Ainsi, quand la base

est un hyperboloïde à deux nappes

quant à l'apparence, si l'angle y, atlcint une ou plusieurs circonférences. La courbe fait alors une ou plusieurs circonvolutions entre deux sommets consécutifs. Cet angle /, peut acquérir une valeur quelconque, comme on vient de le voir cl comme on le reconnaîtra aussi plus loin au moyen de son développement on série (37). La courbe peut se fermer, oc qui arrive lorsque y, csl commcnsurablc avec -.

la condition pour l'existence des points d'inflexion est

Au cas de l'ellipsoïde, si l'on a 6->-Z/- >>/<->■ «-, les deux quantités — sii-^/i^Ta et — cii-^A^To sont toutes deux négatives; mais, si l'on a c-<C b- <^ /i- <C «"', la première est négative; la seconde a

le même signe que -^ — 77- Donc, quand la base est un

ellipsoïde et que la polhodiea pour essieu le petit axe, l'herpolhodie n'a pas de points d'inflexion ; si la polhodie a pour essieu le grand axe, la condition pour l'existence des points d'inflexion (c étant le demi-petit axe) est

On a rappelé (p. 4'^) que, dans un ellipsoïde d'inertie, cette

quantité — — - — — y^ est, au contraire, toujours négative. Ainsi,

l'herpolhodie qui répond au mouvement d'un corps solide en l'absence de toute force extérieure, celle que Poinsot a considérée seule, n'a jamais de point d'inflexion (').

Développements en séries pour les divers éléments d'un mouvement à la Poinsot.

Les développements en séries qui ont été formés dans le Chapitre I s'appliquent aux mouvements à la Poinsot, pourvu qu'on y suppose les angles 8 et U variant proportionnellement au temps. Nous avons à y joindre les développements propres à représenter les éléments nouveaux, axes de la surface base, éléments de l'herpolhodie, puis à mettre tous ces développements sous les formes extérieures les mieux appropriées à l'objet considéré.

Nous considérerons tout d'abord l'angle yo-

C) L'étude des points d'inflexion de l'herpolhodie a été faite, pour la première fois, par M. W. Hess dans la thèse citée au début de ce Chapitre. Le fait que cette courbe, dans le cas du mouvennent des corps, n'a jamais de point d'inflexion ofl^re cette particularité historique que Poinsot, dans une des planches jointes à son célèbre Mémoire, représente l'herpolhodie comme une courbe sinueuse. Ce fait a été trouvé aussi par M. de Sparre {Comptes rendus de 1884 ); mais la priorité appartient à M. Hess.

niAPITRE II. — Li:S MOLVEMEMS A LA POINSOT. G5

Employant les mêmes nolalions qu'au (^liapilrc i (p. 19, i-, ag), nous avons (t. I, p. I^-j)

- I — V2 -^ ( ,)T fy/« , y2/«

v-/ / I - H rrV^ ~ ~.^ i — q"^ V^^ [ '" = ■^■' '' ^' • • • ■

f uo "V 7 1 ' • I

= u-l-2-— , > — — — -,Sininv.

\ to .^ I — 7 ;" y

Siip[>osanl r' enlrc — co' et (o', c'esl-à-dirc V entre \Jq et ~p'

U entre — -et -5 nous concluons, d'après la formule (20), le d('--

veloppement de y„-\-z-i<). C'est précisément ce développement (27).

Au Chapitre 1, on a désigné par 0 l'argument de la cpiantité G'. D'après la composition de G' en fonction de G (I, 40 et la nature actuelle (6) de G, on voit que 0 est une fonction linéaire

de u'. Soit arg. de G'= 0 = ^i, -f- Oo - •

Soit -l l'argument de l'imaginaire d-.iu'-h v'). La formule (17) nous donne

car l'angle y est l'argument de x^ -j- /j-,, et, de plus, on doit s'en

souvenir, les arguments de U, L', U" sont o, -5 ^•

L'argument 'l de c^o («'-+- v') se calcule par la formule (89) du Tome I, p. 42^? comme il a été fait au Chapitre I (p. 3i) pour les analogues (!>«, 'l(,, 'le '•

I III m

1 7 -. — = 2 > — - — — r- sm/nii

1 ^ 10) ^ mil — r/>") \ '«

y LrJJÏli: LzL

2 V' C— ' )2 <7, - I — 1)2'" . un -i- 2 > .. rr sm/;Ki.

De là se conclut l'angle y. Donnant à u' les deux valeurs o et

Cl), par conséquent à U les valeurs o, - ? on conclut, par dififérence, l'angle yo exprimé ainsi

C'est l'angle y©, bien nettement caractérisé par une signification géométrique, qu'il convient d'introduire dans les formules, et l'on écrira l'expression de y sous la forme

t: 2 / riu'v'\

'- ' 2 7:'- \ ' tO) /

Dans cette formule, o est un angle arbitraire dont le changement se rapporte au changement qu'on peut faire sur la direction

des axes x,y. Il diffère de 0) par l'angle ^- L'angle ((', qui figure

dans les formules (62) du Chapitre I, n'est autre que

II' 'X T. r^u'v'

''CD 'T.; 4 ito

Pour développer les coordonnées ^i,j'i d'un point de Therpolhodie, d'après la formule (i-), on emploiera les développements du Tome I, Chap. XIII (p. 422).

On trouve ainsi

:cj i- ty 1 = — tl^ e __^hV(i) :; cj 2 (V«e""U-HV-«e-''«")

La présence du terme — f Ul) dans les formules (28, 29) provient de l'échange des périodes, qui amène la quantité

r/u'v' -r^ii'v' il' v' . , , i-av' \>. i

oj' oj u) w' ' ' 2 o) oj' 7: "

On retrouvera ce même terme quand, appliquant les formules du Chapitre I pour cos «a: + i cos <:// et les analogues, on passera des développements (I, 5g) composés avec q aux développements (I, 65), composés avec (^,.