CHAPITRE III. — UOTATION d'l'N CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. l
nulle, le poids commence à tomber comme s'il était libre, et son mouvement suit dès lors une autre loi.
Celle distinction physique entre les mouvements pour lesquels N chan<^e de signe et ceux où N conserve un signe invariable correspond aussi à une distinction géométrique entre les trajectoires de rexlrémilé du pendule. En efTet, d'après l'équation (7), on a
,. ^Y ^ dX .
dt dt
c'est l'intégrale des aires ; puis on conclut de (97)
d\ dyx dX £/2Y g^ dt dt- dt df^ ~~
Par conséquent, lorsque la réaction devient nulle, le plan osculateur de la trajectoire est vertical ou, en d'autres termes, la projection horizontale de la trajectoire présente une inflexion.
La condition pour que celle circonstance ail lieu effectivement, c'est que N soit positif quand p u = e-2', c'est donc (99)
(107) pa.2<ie2.
Lorsque celte condition est remplie, 2,(98) passe aussi du positif au négatif. En effet, paj devant être supérieur à ^o, l'inégalilé (107) exige que e-, soit positif; par conséquent, — ^ pa2 est négatif, moindre donc que e,- De plus, — ^p^a étant, d'après (107), supérieur à — e.>j est, par cela même, supérieur à e;j ; car — e.2= e-^-h Ci.
Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les points les plus hauts sont au-dessus du plan horizontal de suspension. Les points les plus bas, en tous les cas, sont au-dessous de ce plan; car pa-, -h 2<?3, moindre que e-i — ^2, est toujours négatif. Il est donc possible de caractériser la condition (107) par les éléments du mouvement, relatifs à une position de l'extrémité du pendule audessus de l'horizon de suspension.
Le carré de la vitesse , que l'on peut tirer aussi des équations (97) par l'intégrale des forces vives, nous est fourni par l'égalité (89)
l34 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
tandis que la hauteur H z= — Z, au-dessus de l'hoi'izon de suspension, est
^^ = ^71 hr = ir(P«2-^2P")= -(pa2+2p«).
Do là résulte
w- — ^11 = 3z-{pa2 — ^^P") = — N.
Par conséquent, 5/ l'extrémité du pendule est abandonnée à l'action de la pesanteur à une hauteur H au-dessus du point de suspension et avec une vitesse dont le carré soit moindre que gH, la courbe décrite par la projection Jiorizontale de cette extrémité présente des points d' inflexion.
Représentation du mouvement par des séries; moyen mourement.
Occupons-nous d'abord du moyen mouvement du plan vertical contenant l'axe et calculons, à cet effet, les séries qui représentent les deux angles auxiliaires ci-après
Pour le premier (!/„, nous avons à faire usage des séries mêmes rjul ont été employées au Chapitre II, p. 65. En posant donc
on a immédiatement
I ,, I I — A, V/ xT 7
log- Il est bon d'adjoindre au premier de ces développements une
CHAPlTKi: ill. — ROTATION d'uN CORPS GUAVE DE RÉVOLUTION. l35
autre forme qui melle en évidence le cas particulier «, = ±(0', savoir
^ / 'MA -f>')\
L'argument «1, comme l'argument r du Chapitre II, est égal à (0 augmenté d'une imaginaire pure, en sorte qu'on a pris là les séries mêmes des pages 65, Gy, en mettant «, au lieu de r. Pour calculer 'J/^, ou mettra a au lieu de v — co. On obtiendra de la sorte les développements ci-après
-'" 21 — A2 ^i~cj"' A '«
i(— rjïgri" i \'2>n
^)2(jl f A"2'
log- D'après la formule (85), nous avons
Les angles auxiliaires <|^'(,, ^'|, servent aussi à calculer le moyen mouvement cpo apparent du plan vertical par rapport au corps. Effectivement, la formule (88) peut s'écrire
d<o 0 cosGZ — a
dt I — cos^GZ
et l'on a déjà observé que le changement de 0, a en — a, — 0 équivaut au changement de ai en — «,. Soit donc Iq le temps qui correspond à la demi-période de l'argument; on aura
c»o = (a— D/o— fo— 'l'o-
l36 DEUXIÈME PAKTIE. — APPLICATIONS.
Mouvement du plan vertical.
Pour développer en série le mouvement angulaire du plan verllcal, nous prendrons encore deux angles auxiliaires (|i', <]>" :
\~iirt="--" +K(«-« )-\l{u-^a).
Afin de développer et d'intégrer commodément ces formules, il est opportun de mettre sous la forme ci-après les séries (3i, 33) du Tome I (p. 4^5, ^16). Soient
iTtb iTZc
B = e'2w. C = e^^, on a, d'après les séries citées,
itib — c) — i:ib-hc)-^^c
= 7^ ^••^^«"="— -7— -^7 -7;;;lT^r"-^B^)r'-C^«
1 X,{b — c-^ oj') — ^(6 + c + 0/) + ^ c
^JLy£^fB'"^^)fc---J-)f no ^ \ — q'" \ B'« / \ G'« /
Il faut remarquer que, dans la première, on peut écrire aussi, au lieu du premier terme, cet autre qui lui est égal,
-2 d I ^ ~ B ^ ~ C I -jj I arclang r
On doit se souvenir aussi que co, oj' constituent un s}'stème arbitraire de demi-périodes primitives. On pourra donc, dans ces formules, remplacer tu par w' et w' par — to.
CHAI'ITIU; m. — UOTATION DLN COUPS GRAVE DE RÉVOLUTION. I 3;
Prenons le premier meml)re (i 1 1) en y faisant
l> = //'-+- (o, r = a', . « = co'-»- «', <7i = U) -i- a\ .
Ce premier membre devient
21 (//'-;- (0 — r/ . + (0 ) — !!('/< -+- w -!- a , -4- to' ) -t- • — ' a\
= Zi « — «1 -H 9. co ) — l( Il -h ai) -^. ' a\
d'où résulte (i 08, i of)) que la série (i ' •) représente
f \ du oj / Prenons la série (1 «o), en sup|)osant
b = II' -I- CO, C = «'1 ■+- Zixi', £ = ± I .
Le premier membre ( 1 lo) devient
21( h'-t- eu — o\ — ôw' ) — m u'-r- w -i- «', -f- îOj' ) 4 ^ (a\ -I- £co' )
= !!('?/ — a, ) -4- ar — (\ ~ z)r' — Z(u -^ a,) -^ ( 1 — t)r,'-\ '■ (a', -h sw')
■ (JL)
= Ç( i/ — «1 ) — ?;('?/-+ «i ) H — 'cil — . - •
OJ l M
La série (110) représente donc ainsi
i \ du M
Dans le premier membre (iii), après avoir remplacé (.0 et to' par to' et — to, posons
b = a'. c = a\-h oi' ;
ce premier membre devient
^( m' — a\ — oj' — to~) — t( ii'-h a\ H- co' — w) -l ^ (a', -4- w')
= ^(m — «1) — ^(« -i- ai) — 2t/-|- 2r, H J- (a', -f- w')
tu
= Uu — ai)— Ç(k-*- ai)H ^«i-i- 4^ — \-
tu ItUU)
l38 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Le second membre (i 1 1), moyennant l'écliange des périodes, représente alors (iO())
i \ du c
Enfin, dans le premier membre (iioV après avoir encore échangé les périodes, prenons
et la série (i i o) représentera encore la même quantité (i 12).
Ces divers modes de dévclojipenienl sont ici considérés à la fois pour mettre en évidence les cas particuliers, comme on l'a déjà observé à propos de (L'^, ^'|,.
De même, pour développer —j-i nous obtenons les résultats ciaprès :
Supposons b = u\ c ^= a; la série (i 1 1) représente
B / ^' il
i \ du M
Supposons b = ^/, c = « + toi', s = ±: i ; la série (i i o) représente
i \ du
Enfin, après avoir changé les périodes, si l'on suppose dans la série (110) b = a', c = a -h o/, cette série représente
2 /dY 'V; — g
i \ du to
c'est aussi la même quantité que i-eprésente la série (1 i i), si, après l'échange des périodes, on suppose b= i/'± o)^ c = a -\- w'. Passant de ces développements à leurs intégrales et posant
■1 tu 2 CO ■*
f'Tt (»' — {<))
CIIAPITIIE III. — ROTATION d\n CORPS GRAVI- IH- RÉVOLITION. I SfJ
on ol)h(Mit les si-rics ci-après, cjui correspondent, par ordre, aux séries ci-dessus :
sm/« H
= ( — ^ —I m-arctang( —^. langii — 2 > -- — ^-^, rr.
= ( — ^ H- I II -I- arclang/ -^^ tangu 4- 2 >, ^-—^ — ^- prnl — sinwu
in
= — =- 11-1-2 > — r -. Slll /niT,
= — "-^^ ^" + arctangf — ^ tangUi -+- 2 > . „', ,,,,„ sinma, ;
/nii — g'") A'«
/■i'l„ \ /A'2-n \ '^ r/'" I — . = — ^-^ I u -+- arctang —7- tani^u +27 — —^ rr
/2iL'', \ /A"--i-i \ V' 7'" ' — -■ = (— ^ -^i u-h arctang -x^r; tangu U- 2 > — --^ — rr
-— ^-^ u ~- arc lang — ; tang a -4- 2 > ~^ — r sin m a
SI 11 //i a.
Dans ces deux groupes de formules, on peut préciser les fonctions arctang en les supposant réduites à zéro en même temps que leurs arguments. Dans la dernière formule, il est explicitement
a' • w' t"' ' « !• ^ » suppose que — est compris entre r et -t-j c esl-a-dire (l entre
— - et ^" ? sans quoi le second terme -f- rt devrait être remplacé par
û -f- A-, l'entier k choisi de telle sorte que rt + Ak soit dans Tin-
tervalle — -et-- On se rend aisément compte de ces circon- 2 2 '
stances en envisageant la valeur particulière zéro de l'argument variable U.
l4o DEUXIÈME PARTIE. — APPLTCATIOXS.
Le mouvcnicnl angulaire du plan vertical contenant Taxe du corps nous est connu par la formule (83)
Lcniouvcmcnl angulaire apparent de ce même plan par rapport au corps est connu par la formule analogue
ç = (a — /•)/ — 6'— tj/".
Les angles «V, "l" sont exprimés en fonction du temps si l'on suppose II dans un rapport constant et arbitraire avec le temps t. On se rappelle, d'autre part, que /■ est aussi une constante quelconque, en sorte qu'on en peut dire autant de (a — /). Désignons par a' celte constante et énonçons le r'sultat suivant :
Soient prises à volonté les constantes ^, A, Aj, sous les conditions
o<q<i, \/q <X<-—-, v/^<Ai<-— ;
soit a' une constante quelconque, H un angle variable proportionnel au temps. Si Ton détermine des angles variables 'V, d/" par les séries ci-dessus, et que l'on prenne
6 = -y — <V, o^vlt — 'V — 'Y ;
les angles -i/ et es représenteront le mouvement angulaire du plan vertical contenant l'axe d'un corps grave de révolution suspendu par un point de cet axe: 'l est le mouvement angulaire dans l'espace, '^ le mouvement angulaire relatif par rapport au corps.
Développement des constantes.
Il reste à exprimer en fonction de q^ A, A,, a' les constantes qui se sont offertes dès l'abord, a, j3, y, o, r. Sans insister sur ces nouvelles formules, que l'on peut beaucoup varier, donnons seule-
CHAPITHE III. — ROTATION l)'u.\ COUPS GRAVE DE UÉVOLLTION. I '| I
menl les suivantes à vciKîci- ulscmcnl {l'aprcs les égaillés {'.U), cl où figure le rapport eonslatit -•
' ''^\f/ \d\og\ dlo'^Xi
^' TZ\(J [(dlogA)-^ {d\i>'^\i)'i
Considérons encore deux autres angles auxiliaires constants
'Vo = '[w Z{((i—a) — rtifti—a)].
Leurs développements se déduisent de ceux de -V,, par le changement de A, en A, A ou -—■:
J;'; I T— AfAî ^^ '^ 7'" I— Af"'\^'«
Il 1 -f- Il 2 71
loe — ^.v^i A^A; V :^ '/'" A^^"-Af^"
7T 2 A^-hAf ^^ ' I — 7'« a;"A'«
Il 1 Il 271 V^ f/ ? .
= \ 7 — =^-! — sin//i(ai — 11).
loi; — , .,2
Nous omettons, pour abréger, les développements de 'VJ où figurerait, au lieu de A, A, l'un quelconque des produits de A,, A',, A", par A, A', A". De même, pour (|/„ on pourrait écrire neuf séries où figureraient les quotients de A,, A',, A', par A, A', A".
Les formules (3i) qui donnent a et 5 peuvent s'écrire ainsi :
■X = 2~f[Çn',-4- Za — ^(«1-1- «)], 0 = 2-:t[^a, — Ça — ^(«1 — a)].
l42 DEUXIÈME PAUTIE. — APPLICATIONS.
La constante - est égale au rapport de u' au temps; c'est donc
-^ -• Ou en déduit
La courbe élastique gauche.
La courbe élastique gauclie dont nous allons parler est la figure d'équilibre d'un ressort naturellement cylindrique et de très petite section, subissant l'action de forces extérieures quelconques appliquées seulement à ses extrémités.
M. KirchbofT a montré (') que la découverte de cette courbe dépend de l'intégration des mêmes équations que la découverte du mouvement d'un corps grave autour d'un point fixe. La forme de la section du ressort joue ici le même rôle que, dans l'autre problème, la nature de l'ellipsoïde d'inertie. Au corps grave de révolution suspendu par un point de son axe correspond le ressort à section circulaire. Ainsi, d'après la belle proposition de M. Kirchhoff, nous allons pouvoir trouver ici la courbe élastique gauclie pour un ressort à section circulaire. Nous n'emploierons pas le théorème de M. KirchbofT, nous prendrons les équations différentielles de la courbe telles (ju'elles étaient connues auparavant, et nous ferons voir la concordance des résultats avec ceux qui sont relatifs au mouvement du corps grave.
Les équations difTérentielles (-) sont les suivantes, où x, y, z sont les coordonnées d'un point de la courbe; la variable indépendante est l'arc de cette courbe; a, ^, o sont des constantes :
- z" x' ^ zy - {"^x
(') Vorlesungen ûber matliematische Physik, p. 421-
(') Voyez Lagrance, Mécanique analytique ; édition de M. J. Bertrand, t. I; p. 'lOi. — HtRMiTE, Sur quelques applications des fonctions elliptiques. — Les lignes qui suivent sont textuellement empruntées à ce dernier ouvrage (p. 98).
CIIAPITIIK III. — ROTATION l)"r> COIll'S (iRAVF. I)K HfiVOLUTION. l/|3
(( Observons, en premier lieu, que, si on les ajoute après les avoir mullipliées rcspccliveinenl, d'abord par x\ y', c', puis par x\ y\ z , on obtient
r.{x-^-^y^^z'^) -- ^?(.r> —ry') - -xz' = o, r,{x' x" -^y'v" -^ z z") -\- \ ^{x"y — xy") — as" = o.
» Or la première de ces relations donne, par la difTérentiation ,
i.l{x' x" -^ y y" ^ z'z") -t- \'^{x"y — xy") ~ %z' = o; nous avons donc, par comparaison avec la première,
x'x"'^yy"-^z'z' = o,
résultat conforme à l'hypotlièse que Taxe est pris pour variable indépendante et qui est traduite par la relation
» Les deux équations peuvent donc être écrites ainsi
» Nous en déduisons
^i^[(a^y-a^y)z"-ixy-x"y)z'] = o^";
mais le premier membre, étant écrit ainsi
\^[(yz"-y"z')x-^{z'x"-z''x')y], se réduit à
l^[(ox'-^\?y)x-^{r,y-lo^a;)y] = l^'ioixx'-^yy),
de sorte que nous avons
^^{xx'---yy) = z",
puis, par l'intéq^ration, en désignant par y une constante arbitraire,
l44 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
» Nous remplaçons le sjslènie des équalions à intégrer par celui-ei
Voici maintenant où va apparaître l'idcnlité de ce problème avec celui qui nous a occupés dans le présent Chapitre. Posons
7= olr
z' = cosCZ,
— cos BZ,
'= cosAZ.
Les trois angles AZ, BZ, GZ sont ceux qu'une droite Z fait avec trois axes rectangulaires, comme il résulte de la troisième équation différentielle.
On a d'abord
yy = — 1.3 cos BZ, 7'= 13 cos AZ;
puis les trois équations différentielles qui subsistent deviennent, par ordre,
p2+cf-=: ;3(cosGZ-^y), q cosAZ — p cosBZ = (cosGZ )', p cosAZ -h q cosBZ = 0 — a cosGZ.
Ce sont là précisément les équations du mouvement du corps grave, numérotées (2), (6), (3), (7), et prises dans le cas particulier /• = a. Ainsi est vérifié le théorème de M. Kirchhoff.
L'intégration est faite par les formules établies précédemment. L'argument u varie ici proportionnellement à l'arc de la courbe, qui remplace le temps. On aura encore, pour obtenir 5, à intégrer cosCZ (19), ce qui donne
z = — ^-^ ^—^ h const.
pai— pa
Quant k X ei y, d'après (3i) et suivant l'expression de/> ± iq
CHAPITRE III. — ROTATION d'iN CORPS (iRAVr DE RÉVOLUTION. l \5 (p. I 23), on a
