CHAPITRE III. — ROTATION DUN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. l3l

OÙ a est une constante quelconque et n un entier positif. Connue SOUS le nom à\''q lia lion de Lamé, cette équation sera, en son lieu, l'objet d'une étude spéciale. Le cas n = i est celui que nous avons rencontré au Tome I; le cas /i = 2 se rencontre ici avec sa solution, qu'on peut présenter ainsi ; La constante a étant écrite sous la forme — ,p«2, soient a et r/, deux arguments différents de a. 2 et satisfaisant à la condition

(101) p'a = p'ai=p'a2,

on a, pour l'inconnue z, dans f équation (100) ai'ec n =^ 2,

[ du L J «

Cette fonction z a deux déterminations distinctes, en sorle qu'elle fournit la solution complète : efTectivement a et ^r, peuvent y être échangés.

La solution devient explicite si l'on forme l'équation du second degré dont les deux racines sont jjc/, et j3rt. Soit désigné pa-i par — y. ; cette équation est la suivante

4 ç^ — ^2 ; - ^3 ^ — 4 a* ^- ^2 a — ^3 ou bien

Ainsi, au cas n = 2, l'équation (100) de Lamé a pour solution la fonction z (102), dans laquelle a et a-i sont choisis par la condition que pa et pat soient les racines de U éciuation (io3) et que p'a et p'at aient un même signe.

Voici maintenant une autre manière de présenter celte solution. En posant a, — a = i>, on écrira, au lieu de (102),

X étant une constante qu'il faut trouver. C'est la forme même qui s'est offerte en un paragraphe précédent (page 12 i), pour cosCX -+- f cosCY.

iSa DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Pour obtenir c, nous avons d'abord (loi)

pi; -^ pai -{- pa = ( - '- — = •

^ r 1 r \'^ pai — pa/ \pai — paj

En remplaçant pa^ -+• pa et pa, — pa par la somme et la différence des racines de l'équation (io3) et, en outre, p'^a^ par — 4 2c^ -4- ^2 3c — ^3 , on obtient

(io5) pv =

On a ensuite a parle calcul suivant (t. I, p. i38)

X = ll(ai — a) -hZa— Zai= - —

■ 2 p[a — ai) — pa

I p'(a — a,) — p'ai p' (a — ai)-h p'a — p'ai __ p't'

(io6)

2p(a — a,)— pai ip{a— a^) — pa — pa^ ipv—%

ipv— a

L! équation de Lamé (loo), au cas n^ >., se résout par La fonction (io4), où v est un argument déterminé par l'égalité (io5), puis X par l'égalité (io6).

Sur une distinction entre le pendule à tige et le pendule à fil.

Revenons à la réaction N (99), que nous avons appelée réaction de la tige du pendule. Si le pendule est formé par un poids suspendu à un fil, N changé de signe est la tension de ce fil. Le poids ne reste sur la sphère que si le fil est effectivement tendu : si donc N est une quantité négative, il en est toujours ainsi aux points les plus bas de la course ; car ces points correspondent au maximum de Z, c'est-à-dire à p« = 63 : comme e^ est négatif et moindre que e^^ minimum de pa^^ 263 est a fortiori moindre que pa-i et N est négatif. Mais il peut en être autrement aux points les plus hauts si e-^ est positif. En ce cas, le mouvement du pendule, s'il est suspendu par un fil, ne suivra pas les lois marquées par les formules. En effet, au moment où la tension devient