CHAPITRE IV
MOUVEME.NT DLN COUPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDEFINI, EN L'ABSENCE DE FOUCE ACCÉLÉRATRICE (■).
Équations différenlieilcs. — Réduclion du prolili'nic à un(> iiilégralc elliptique.
— Expression des constantes par des fonctions cliipli(iucs. — Expression des variables par des fonctions elliptiques. — Rotation du corps solide. — Translation du corps solide. — Notions générales sur le mouvement du corps solide.
— Enumération des constantes ; homogénéité. — Expressions des éléments elliptiques en fonction des données. — Sur un cas particulier. — Discussion des formules. — Décomposition de la rotation. — Détermination des constantes par celles des mouvements composants. — Détermination des mouvements composants au moj'cn du mouvement composé. — Cas où le corps solide est de révolution. — Sur une propriété du mouvement, relative à l'hcrpolhodie.
Équations différentielles.
Le inouvenienl d'un corps solide dans un liquide indéfini, en l'absence de toute force accélératrice, est défini par un système d'équations différentielles à six inconnues établi pour la première l'ois par M. Kirchhoff.
Dans ces équations, la variable indépendante, qui est le temps, ne figure pas explicitement; on a, de plus, trois intégrales immédiates et l'on connaît le dernier multiplicateur. Les principes du Calcul intégral nous enseignent donc que la connaissance d'une seule intégrale nouvelle conduit à la solution complète.
On connaît cette nouvelle intégrale dans trois cas particuliers ; l'un d'eux conduit à des quadratures elliptiques. C'est de ce cas que nous nous occuperons ici. On verra plus loin la définition précise de ce cas, malaisé à définir en langage ordinaire, à cause du peu de connaissance que nous possédons sur certains élé-
(') Auteurs à consulter : Kirchuoff, Vorlesungen iiber mathematische Pliysik : Mechanik (p. 236 à 2 '(7). — Clebsch, Ueber die Bewegung eines Kôrpers in einer FlUssigkeit {Mathematische Annalen, t. III, p. 238).
CHAP. IV. — MOLVEMKM d'lX CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. 1^7
ments du problème. Averlissons seulement que le cas où le solide est homogène et de révolution est un cas plus spécial, contenu dans celui que nous envisagerons. Ce cas particulier a été signalé par M. Kirchliolî".
Voici les variables que, d'iiabiludc, dans ces pioblènies on prend pour inconnues.
On considère, dans IVspace, trois axes rectangulaires mobiles, lesquels sont fixes dans le corps. Les composantes de la vitesse de Torigine de ces axes, prises sur ces axes eux-mêmes, sont trois des inconnues U, V, W. En second lieu, les composantes de la rotation instantanée du corjjs autour de celte origine mobile, prises sur ces mêmes axes, sont les trois autres inconnues P, O, R. An lieu de ces six variables, Clebscli en a emplo\é d'autres, dont nous ferons usage. La force rà'e T du corps et du liquide., pris ensemble, est nue forme quadratique, c'est-à-dire un polynôme homogène et du second degré, composé avec les six variables U, V, W, P, Q, R. Les dérivées partielles de cette forme quadratique sont six fonctions linéaires de ces mêmes variables. Ce sont elles que Clebsch prend pour inconnues ; nous les désignerons, comme Clebsch, par les lettres x\, jc-,, Ji'3 ', J'i, y-2i J'3 •
dT ÔT dT
^'-dîi' '^--^' ""'^d^'
ôT ()T ÔT
ri-^' 72-^, •^^=^'
Les formes quadratiques ont la propriété suivante, bien facile à démontrer : soit T une telle forme et soit ^1, ^o, ... un système de variables avec lesquelles elle est composée. Prenons pour nouveau système de variables Z), Zo, . . . , en posant
on aura inversement
En observant cette propriété si simple et si remarquable, Clebsch transforme immédiatement les équations du problème actuel. Ces équations ont al)solument la même forme extérieure (pie celles du mouvement d'un corps solide dans le vide. La foixc vive seule
l48 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
a une expression différente. Il y en a trois de chacun des deux types suivants (') :
dt dV d\ OW d(^ " àl{
Avec les variables de Clebsch, ces équations s'écriront ainsi : dri r)T àT
~dr -'^''dJ3~''''â7o '^^'' ày, ^'' ()/2 ■
Clebsch change tous les signes dans les seconds membres-, c'est un détail sans importance, mais auquel il faut cependant avoir égard. Ce changement équivaut à celui des signes de P, Q, R. C'est donc un changement dans le sens convenu pour les rotations autour des axes. Nous conserverons la forme employée par Clebsch, sans changer la convention habituelle pour les sens de rotation ; alors P, Q, R, données par les égalités
dT ^ ôT ^ dT
^ ' àfi ')y2 àfi
sont les composantes de la rotation du corps changées de signes, ou, ce qui revient au même, les composantes de la rotation relative de l'espace autour du corps.
Voici donc les équations que nous envisagerons avec Clebsch :
dxi dT ÔT
-dT-'"'^,-''"'^.'
idxi i)T ()T
dxj ^ à^, ~dr "'"'' dy, ^^ dy^'
dvx àT dT dT dT
dt dxo dxs -^ dy.2 "^ o/^
dy. dT dT dT dT
^3^ \ -dt =^^ dx:^ -^' 'dx, -^y^ ly, -y-dv, '
I dyz dT dT dT oT
(') Voyez l'ouvrage de M. Kirchlioff, cité précédemment.
CHAP. IV. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE DANS LN LIQUIDE INDÉFINI. 1^9
Les trois intégrales, communes à tous les cas, sont les suivantes :
(4) aT = const. = /,
(5) x] -T- xl -h tI =^ consl. = m,
(6) ^O'i "*" ^-'J2 -+- ^373 = const. = n.
Le cas particulier, dont nous nous occuperons, est celui dans lequel, par un choix convenable des axes, on peut réduire l'expression de la force vive à la forme spéciale suivante :
Quand le corps est homogène et de révolution, les coefficients q et q' sont nuls. En signalant ce cas plus général (-), Clebsch se contente de dire que l'intégration se fait d'une manière toute semblable à celle qu'a employée M. Kirchhoff pour le cas plus particulier où le corps est de révolution. Nous allons faire cette intégration, ramener ainsi le problème à des quadratures elliptiques *, après quoi, effectuant l'inversion, nous exprimerons toutes les inconnues en fonction explicite du temps.
Réduction du problème à une intégrale elliptique.
Le second membre de la dernière équation (3) se réduit à zéro, en sorte que j'3 est une constante. C'est là l'intégrale nouvelle que Ton possède en ce cas.
L'intégrale (6) et la troisième équation (2) nous donnent
1 a:,7i -f- x-^y-i = n — Xsys,
A cause de l'identité
(xiyi -i- x.y^)^ -^ (x^yi —yiXiy- =(xl -i- xl)(yl -h yl), nous concluons de (8)
100 DEUXIÈME PAllTIE. — APPLICATIONS.
En second lieu, l'intégrale (5) donne
(10) xi -h tI = 771 — xl
el l'intégrale (4)? au moyen des équations (8), (9),
(11) ^2^j2^>^JZi'(,»j/,.r3 r| ,
avec ces notations abrégées
p77i -+- içTi -+- r'yi — /
Les expressions (10) et (i 1) étant substituées au second membre de (9), il en résulte
—[f] = r{p' — p){mi ~hx3 — xl){77i—xl)—7^'-{n—y3^3y'.
Comme -)'3 est une constante, nous avons ici une équation différentielle où les variables sont séparées; le temps, par conséquent, exprimé par une quadrature elliptique.
Expression des constantes par des fonctions elliptiques.
L'inversion, dans l'égalité (i3), se fera parle procédé général développé au Tome I (p. 118). Considérant les deux invariants $ et G du polvnôme (i3) et introduisant, en outre, un facteur d'homogénéité arbitraire p, on prendra, pour invariants des fonctions elliptiques,
on déterminera un argument v constant (t. I, 54, p. 120), et l'on posera
~ipu — pv'
CHAP. IV. — MOLVEMENT d'lN' CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI- l5l
moyennant quoi on obtiendra
, ., i \/A^3)= \^'-{p' — p){/ni — h.r3 — xl){m—xl} — r-^{n—y3Xt)^
[ = pi^r{p'—p)[pu — p(u-^v)],
dX3 r——, ; dXj
( 1 6 ) du — p \/r(p' — p) df .
L'argument // varie proportionnellement au temps.
Par ce moyen l'inversion est effectuée, les invariants et l'argument auxiliaire ç sont exprimés en fonction des constantes données. On sait déjà, par les applications précédentes, que l'expression inverse des constantes au moyen des fonctions elliptiques est nécessaire et s'obtient plus aisément par des movens directs, comme nous allons le faire.
La fonction z (i4) a cette autre expression (t. 1, p. i38)
(17) z = Uu-hv)—lu — '^y.
Soit a un argument quelconque, que nous mettons au lieu de «, en écrivant
(18) Za = Ua^v) — Za-^v.
La différence (:^ — Za), considérée comme fonction de u, a les pôles simples w = — i' el 11 = o avec les résidus dz i , les racines u^a cl 1/ = — a — r; elle se représente donc par le produit
'iv:f{u — a) j {u -\- a -^ v) ■^ "" "''^ ~ 3'M 3'(^a -i- f') a'aa'(a -H c)
Il est clair que tout binôme .Tg + A s'exprime, d'après (i4)i sous la forme p(s — Za) 1 l'argument a étant convenablement choisi. En désignant donc j)ar a, b, a^ , 6, certains arguments, on aura
(20) X\ — m= ^"^(yZ— Za){z — Zh),
(•21) x\^hT3—m^= p'^(z — z,,^)(z — Z[,,).
l52 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Nous aurons alors, suivant (i5),
on a posé, [)Our abréger,
Pour préciser, nous supposons la quantilé \' i'{p' — p) pi'ise avec une même détermination dans les égalités (i6) et (aS).
Le second membre (22) peut être décomposé en deux facteurs $ et 4>,, savoir
Si l'on substituait à - (^3 j une expression telle que 3 — z-c^
on aurait là, pour <ï> et $,, des décompositions en éléments simples, mettant en évidence la nature de ces fonctions. Chacune d'elles a les doubles pôles uz= o ei u ^=. — ç, chacune d'elles peut se décomposer sous la forme
Les huit arguments racines a, [3, v, 8 de l'une et l'autre fonction $, <!>, reproduisent, dans un certain ordre, a, 6, a,, bi, — («7-hv), — [b -\- v)^ — («, -j- r), — ((?>, + (•). C'est ce qui résulte de l'identité (22).
La quantité "Q^u + r) — X^ii reste inaltérée quand on change u en — (w-l-(^), tandis qu'alors p{u-{-v) — p^^ se reproduit changée de signe. Dans ce changement, <I> et $, s'échangent donc. Si donc le numérateur de <ï> contient le facteur g'(« — a), celui de <I>, contient le facteur complémentaire d[u-\~ a-]- v). Ainsi le numérateur de '$ contient un des facteurs du numérateur de chacune des quatre différences telles que [z — Za) ■ le numé-
CHAP. IV. — MOLVEMEM D'u.N CORPS SOLIDE DANS L"N LIQLIDE INDÉFIM. I 53
ralciir de <I>| contient les fadeurs coniplénientaircs. Il n'y a d'ailleurs jiiS([irici aucune distiiiclion entre deux faclenrs eoniplémcnlaires, et nous pouvons prendre à xolonté les facteurs du numérateur de <I>, sans restreindre la généralité. On aura donc, en tenant compte de ce que lim(M-^) = i pour a = o,
3'2t'j(« — «)j(« — Oi) j(u -\- b -^- v) ^{u-^- bi -T- v) ij^v j{u — b) ^{u — bi) -jiu -h a -h v) j( u -h ai -~- v)
jb j^i j'(a -1- p) j{ai -+- p) :f^u ^-{ii -+- rj
Mais, dans ces fonctions, la somme des racines doit être égale à la somme des pôles; les arguments «, «,, b, bi doivent donc vérifier la condition
Une antre condition est encore imposée d'après les égalités (2^). Les deux fonctions <I> et <I>, doivent toutes deux avoir
{U-hVf-
pour partie principale, au pôle u= — v. D'après les expressions (25), ceci fournit une équation unique
. . a'(a-\- v)a'(ai -+■ v) 'z'b a'bi
:j(b -i- v) :y{bi-^ v) :fa 3'ai
Ces deux conditions (26) et (^^^7) sont sulïisantes pour que <î> et <I>, se décomposent en éléments simples sous la forme (24)» donnent lieu, par conséquent, à une identité telle que l'identité (22). Ce sont donc les seules conditions imposées à des arguments, d'ailleurs arbitraires, a, Oi. b, 6|, r, pour qu'ils puissent servir à exprimer les constantes de notre problème.
Avant de poursuivre, il est bon de s'arrêter un instant sur les deux conditions (26), (2-). La première est satisfaite si l'on prend
[ ai = c -h a', a = c — a', (28)
( bi = c -T- b', b — c — b'.
r54 DEUXIÈME PARTIE. — AIM'I.ICATIONS.
en sorte que «', b' , c sont Irois arguments arbitraires. Soil inainlenanl
(99) V =^ iv — c;
la relation ( o.'j') devient
:i{iv — a') j'((ï^ -+- a') c'(c — 6') ^(c -+- 6') ^'^'"' di^w — b'):r{w -h b'):^{c — a')a'{c-ha') ~ ~ ' '
elle peut se traduire par l'égalité harmonique
(piv — pa')(pc — pb' )
piv - pb'}(pc — pa')
qui donne j^tv en fonction de pa', ph', pc.
\ oici une conséquence qui va intervenir tout à l'heure. Considérons la somme (Za -h :^b -\- '-n -^-~-b)- C'est le coefficient du terme en z^ dans le polynôme en z, transformé de fÇxs). Cette somme est donc nulle (t. I, p. 119). Ainsi, comme conséquence, des relations (26) et (27), on a
(31) Za-h Z/j-h Za^-^ ~-/,^= 0.
Revenons maintenant aux égalités (20) et (21) pour en déduire les expressions des coefficients en fonction des arguments introduits. Remplaçant x^ par l'expression (i4)> nous aurons, d'après l'égalité (20),
' -^3 -t- //" = ? ( ^ — z- /, ) = — -r h -{- p z -{- \/m ; d'où résulte
(33) ) .^ " * V . ' ^ * ^ ' Nous aurons de même, d'après (21),
^3 + .'- h — y/| h- -f- mj = z{z — z„^ } = L h -\- pz — y/i A'^ -i- m^,
( p^a, = — 4- A-t- V/t-^'^ -T- "2l, p-36, =— |/i — v/l A- -Hmi,
CHAP. IV. — MOLVEMENT DUN CORPS SOLIDE DANS LN LIQUIDE INDÉFINI. l55
Les deux expressions (33) et (34) de \h concordenl, comme il résulte de l'cgalitc (^3i).
Il est bien entendu que, dans les égalités (33), (34), on ne doit attacher aucun sens ])articulier à l'une ou l'autre des deux déterminations prises pour un des radicaux, \Jm par exemple, qui peut aussi bien être positif que négatif.
Décomposant en éléments simples (t. I, p. 228) la fonction <I> donnée sous la forme (aà), on j trouve, pour le coefficient de l'élément "Cu^ l'expression
-la- lai-¥- C(^-^(•)^- r(^'i -l- r) — 2rc. Mais, d'après (24), ce coefficient doit être -• On a donc
(35) 5 = p[r(6 -i-r) + :(ii + t^) — ;;« — r«i — 2rr].
La considération analogue de la fonction <[>, donnerait aussi pour s cette autre expression
(35a) s=- cfr(a -+-<■) 4- lia^ -^ v) —X,b — Ib^ — 2^f],
qui coïncide aAec la précédente suivant la relation (3i).
En faisant u = a dans l'expression (24) de ^ el u = b dans celle de $), et observant que, d'après (32), il y correspond .2:3 = ± \'m, nous avons
pa — p(a-ht') = ^ (\/ni
(36) < '' ^ ^ ?'V yJ
ss/m = lp5[j)i -r-pa — p(a-hP) — p(6 -f- c)]. — = 1 ?-{vf^ — V^i ^ P{a^v) — -p{b -^ v)].
Expression des variables par des fonctions elliptiques.
Pour la suite de notre calcul, nous aurons à décomposer en éléments simples la fonction
Xiicc^ — —]
xl— m
faisons d'abord celte décomposition.
l56 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Celte fonction, d'après (i4) et (.^.o), a les pôles «, — («+ p), 6, — {b -h <'), dont il nous faut chercher les résidus. Un tel résidu est la valeur prise par
\ yzJ rs I j3
fli ri — m ) dx^ % p pu — p{u -^i>)
du du
au pôle considéré. Les pôles sont, tous quatre, des racines de 4> ou de 4>,, comme on le voit d'après les égalités ('^5). Parles relations (9.4)5 01^ ^■oi'^ donc que les résidus sont ± ^^5 suivant qu'il s'agit de racines de O ou de 4>,. On a donc
o(«) = -i [^« — rt) + ^« + 6 4- r) — !;(«— 6) — Ç(it -t- « + (')-+- D]
avec une constante D, qu'il faut encore trouver. Pour ce but, observons que l'hvpothèse u = o rend jc infini (i4) et donne ainsi cp(o) = I . Donc
(3;) — Ça 4-^(6 + p)-f-^Z>- Ç(rt + (^)-^ D = — •
Mettons, au second membre, pour 25, la somme des deux expressions (35) et (35«), et nous obtiendrons
En multipliant 'f (m) par irj'^c/t et observant les relations (16), (28), nous avons
irxrjjysXa — n) ^^^ xl — m
= i [ ^( « — a ) 4- r ( M 4- 6 -f- P) — r ( « — 6) — Ç( a + a -^ p) + D ] du.
Considérons, en second lieu, la demi-différentielle de log(a:;3 — m). D'après (10), (19) et (20), elle donne lieu à la relation
a?i dxj -+- x<i dx^
-i-U U — 6) 4- ^( M 4- 6 -Ht") — 2^U — 2^M 4- (')] du.
ClIAl'. IV. — MOLVEMENÏ u'iN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. IJ']
En combinant ces deux égalités, nous avons la suivante, dont nous allons avoir besoin :
/ T 1 c/x , -\- X ^dx-i — irx3{n — a-s j'3 ) d( (38) ' x\-^x\
Arrivons niainlenant à la première intégration que nous avons ;i efTectuer. Pour ce but, formons, d'après les équations difTérentielles(2), la quantité
Xi—r- —Xi -j- = {Xl ^ X\) X3{X^- H r, — •
En mettant, pourT, son expression (7) et utilisant l'intégrale (G), nous avons
/ x^dx^ — x^dxx T/ ' > , rx^^n — x^Y^)^ 1
\ ^ Vp / x\-^x\
On a ici posé, pour abréger,
D'après les égalités (38) et (39), nous concluons
Xx dxi -t- x^ dx=i -H i ( a"i dx<i — x^ dxy ) x\ -t- a:|
= r^— '.D-+-p5+^(tt + a + t;) + ^(a— 6) — ;;« — CCm-^ r)]^« et, en remplaçant :; par son exjM'cssion en éléments simples,
— iog(ari+ t:r2)= ^ — v D + ,3[?(« -+- ^^ - C«-^<'|
l58 DEUXIÈMi: PARTIE. — APPLICATIONS.
Par une intégration, nous avons maintenant
Xi -r- iT', = K — -— e-"-.f — — ^ e '^
' " L 3'ft J a'u :j{u^ i')
égalité où K. désigne une constante arbiti'aire, et qu'il sera préférable d'écrire ainsi, en modifiant la constante,
pour en déduire ensuite Xt — /.ro. A cet effet, on divisera par l'expression {.\i') la quantité x] -r J:'t ^= m — x'^, exprimée par les égalités (19), {'^o). On aura ainsi
Cette intégration faite, nous trouverons maintenant les deux autres inconnues jKi 5 JK2 sans intégration, par le calcul suivant, où interviennent les relations (8)
(xi ± ix.î)(yi zp iy,) = x^y^ + x^y^ ± iix^yi —y 2^1)
i dxs
r dt
D'après (i4)> i^^) ^t (23), ceci peut s'écrire encore
{x^±ixi){y^-=.iy%) =:
Par conséquent, suivant les relations ('^4)5
(a^i -f- ix.i)(y^ — iyi)
1 — i>2)(7l -^ iy-) = -r- ^^ *.
Employant les expressions (ao) de ^ et $,, nous trouvons maintenant ces nouvelles formules, analogues à (4i) et (42) :
bi -r- i>)'^ai :i ua'(u-{- i> )
yi — î J2 -=
,JKi r ^" ^„r."]^^ ^v ^(u -h ai -h y) y( u — bj) J^y "^)"
CHAP. IV. — MOIVEMENT l)\s CORPS SOLIDE DANS l .N LIQUIDE INDÉFINI. l5g
On rcirouvc bien, en les imihiplianl nu'iiihre à membre, l'expression (il) de y'I -\-J't, comme il résullc des rclalions (y. i) el ('23).
Rotation du corps solide.
Ici, comme au Cliajjilre lll, nous tlésignerous par X, Y, Z les axes fixes dans l'espace et par A, B, C les axes fixes dans le corps.
Les Irois dérivées -r — sont les composantes de la rotation in-
slantanée relative de l'espace par rapport au corps (i ). D'après la théorie de la rotation, on a donc, en considérant la rotation relative de l'axe Z (I, ^/j)
d V7 '^T „ ÔT „„
-j- cosAZ = - — cosCiZ ; — cosBZ,
dt dfi 0^3
avec deux équations analogues obtenues ])ar permutation circu-
laire des lettres A, B, C. Les coefficients -r — sont maintenant des
fonctions connues du temps t, en sorte que ces équations sont différentielles, linéaires, sans second membre. Les inconnues sont les trois cosinus. L'intégration générale comporte trois arbitraires, dont une seulement est déterminée par la condition que la somme des carrés des cosinus soit l'unité. Maison peut à volonté fixer les deux autres en choisissant arbitrairement la direction de l'axe Z. Comparant alors les équations actuelles aux équations (2), on voit qu'il existe une solution où les inconnues sont proportionnelles à JT,, .r^, .r3. On peut donc prendre, d'après (33, 19),
cosAZ rosBZ cosCZ i 2 'i.a'a:fùa'(a~\-v):f(b-\-v)
J"i -ri ^3 y/m Pi-^a — ^b) ? ^i' :^(a— b):f{a-+- b^i>)'
D'après les égalités (i4, 33, /\i, 42), nous concluons
(46) cosCZ =
cos AZ -t- t cosBZ
I L ^u J a'(a — b)<j{a -h b -h v) a'ii :f{ u-n i>) '
1 cos AZ — tcos I5Z
f -^ r ^" ^.,rJ^ crb:f(a-^-v):r{u^b■^^')cf(u-a)Xl''-^)"
l6o DEUXIÈME PARTIE.
Soient mainlcnanl
S = cosCX ©0 = cosCX
i cos CY,
t cosCY.
Appliquons l'équation cinématique (I, 7^)), en supposant les deux systèmes daxes congruents et remplaçant les com[)osantes de la rotation par leurs expressions (i) et les cosinus de AZ, BZ, CZ par les quantités proportionnelles (45) ^i, -To, :r,,. Nous avons ainsi
de
dt
de,
dt
Par conséquent,
3 du
dZ, du
qs \/ ni s \ I
Pour décomposer en éléments simples le dernier terme, on a ici un calcul analogue à celui qui concernait précédemment '^{u). Les résidus ont pour expression
dx:i du
et il laut V substituer, à la place de a, successivement a et
— (^ + r), racines de <ï>, puis b et —(«-}- r), racines de <I>i. Pour le premier et le quatrième pôle, ^3 est égal à \^/m ; pour le deuxième et le troisième, ^3 est égal à — \^ in ; c'est ce qu'on voit par les équations (Sa). Les résidus sont donc successivement
— I, -l-i, — I, H-i. En outre, la fonction s'évanouit pour x-i infini, c'est-à-dire pour u = o. Donc
— Xs
= Ç(a-4-a + (^) + Ç(if-4-6H-t') — Ç(a — a) — ^^{u — b) — Di, (48) \)x = -^a^-Qb + ^a-\-v) + r,{b-^v).
CHAI'. IV. — MOUVEMENT DXN CORPS SOLIDE DANS IN LIOIIIH: INDÉKIM. I<)l
Si Ton pose aussi, [)oiir abréger,
qs \//n
(III aiiiM. par lulégralion ,
ry.t
v>. Y r^ \ , :^{ Il -y- a -i- V ) :f{ u -r- ù -h V)
— i -^ D, 1 » -^ loii -7 -—, 7- -H consl.
p 1 Cj{u — a):j{u — 0)
D'aulrc pari, le protluil 3So est égal à celui des deux fadeurs cosAZzb /cosBZ. Prenant pour ces derniers leurs expressions (4;), on a
, ^^ , ■f(i/-^a-hi>):f(ii — /,):!( Il - h-ir-v) :ï( Il ~ a)
lo^o^:,,, = lo- -; — — '- — const.
De là résulte log£-, et enfin Z et Z^ comme il suit, en écrivant convenablement la constante d'intégration,
\ cosG\ -- f cosG\ =2 El j- — , — ^^ '- e ^t^ 2 ^
:ï(a — b):f{a-^- b -\-v)-ïu:i{a-\- V) '
/ ,,.. . ^, 2 ^ia-^v):f{b ^v):!(ii ~ a):f(ii. — b) (i"^,'*')
f cMsi.X — « cosGl = — ^ — -. -, 1(7 ' '
L, jI rt — 0} :H. a ^ b -^ V) :^ u:ï(u -T- V)
E, désigne, comme précédemment E, une constante arbitraire.
On sait (p. 1 1) que la connaissance de cosCZ, cosAZ ± f cosBZ, cosCX rb f cosCY détermine entièrement et sans ambiguïté la position relative des deux systèmes d'axes, quand on connaît le caractère de congruence. Ici nous avons supposé les axes congruent^. La rotation du corps est donc actuellement déterminée.
Translation du corps solide.
Il faut maintenant trouver, en fonction du temps ou de l'argument proportionnel a, les coordonnées X, Y, Z de l'origine des axes fixes dans le corps. Les deux premières coordonnées sont données explicitement en fonction des quantités précédentes; la troi-
