DEUXIÈME PARTIE

sicme exige une intégralion. Pour les deux premières (' ), on a les formules

X= -^(j'i cosAY -T-/2 cosBY -i-j3 cosGY), v//«

Y — — (ji cosAX-(-72 cosBX-1-73 cosCX),

(Voix nous conclurons [I, 13^ £ = 1 etéq. (^5) de ce Cliap.]

( X -t- i Y ) ( cos GX — i cos GY )

I rjj(cosBZ -T- icosAZ cosGZ) JJ^i | -^yi{— cos AZ-f- 1 cosBZ cosGZ) — «j'sCi — cos^GZ

ou bien, d'après (4^),

( X + I Y ) ( cos ex — i cos GY|)

^i.ri + ^iY-i

\//n L \/^ ou encore, suivant les relations (8),

(X-^iY)(cosGX — tcosCY)

r\/in "^

à quoi il faudra joindre l'équation conjuguée pour avoir X et Y Remplaçant -^ par son expression elliptique, nous avons

I ( X ± t Y ) ( cos ex — i cos GY ) (5i) J ifyz

Yiu — p( it -f- t^) nz — ( J m '-^ — I

Le facteur cosCX in icosC\ est une fonction doublement périodique de seconde espèce, tandis que le second membre est doublement périodique. Donc X ± iY est doublement périodique de seconde espèce. Les deux quantités conjuguées cosCX q= i cosCY ontdesmultiplicateurs réciproques, puisque leurproduit 1 — cos-CZ est doublement périodique. Donc X + i Y a les mômes multiplicateurs que cosCX -f- t cosCY. Nous allons décomposer X -+- iY en

(') KiRcuiioFF, Vorlesungeii ilber matliematiscke Physik, p. 240. Au lieu de X, Y, Z, la notation, dans cet Ouvrage, est a, |3, y.

CHAP. IV. — MOUVEMENT d'lN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l63

éléments simples. L'élément simple type se déduit de la forme (5o) de cosCX -r f'cosGY; c'est

Les pôles de X + t Y sont « ^ o et ;/ = — c ; ce sont des pôles simples, attendu qu'ils sont doubles au second membre (5i) et

simples dans le facteur cosCX — f cosCY. Leur résidu est zi= ^ ' -^ -, ' sin

coefficient de pu et p(;^ + v) au second membre (5i), divisé par le résidu de cosCX — i cosCY. Il n'y a pas d'autres pôles, comme on va voir.

Observons les valeurs du second membre (5i) pour les valeurs de u ci-après : <7, — (« + r), ^, — [b-i-v). Pour les deux premières, on a J":j =: ^ni] pour les deux autres, x-i^ — \/m (32).

Par conséquent, pour les deux premières, ym '-^ — se confond

\/ni y^

avec jc i ; pour les dernières, avec — ix, )• D'autre

y-i ^ \ yzJ

part, suivant les égalités (2/1,25), ■^{x-;^ ;- 1 est alors égal à

m [p« — p('^+^")]' le signe />/«5 convenant à u^=aclu^^ — (6-i-r); le signe moins, à u =^ b et u ^ — (« -h (^).

11 en résulte, pour la quantité entre crochets, dans (5i), les valeurs suivantes :

s / /l\ { o, Il = a, pu — 1) ( u -i- r) H= — vTj I = -,

(a^-^'), P" — P(«-i-^)=F-^ (-^3— jrj

?'\ 73/ ( 2fp6-p(6H-(0];

On voit par là que le second membre (ai) s'évanouit pour u= a et M = 6 <piand on prend le signe supérieur; pour u ^ — {a ■+- 1') et « = — (^ -r i') quand on prend le signe inférieur. Il en est tout de même pour cosCXip tcosCY. 11 s'ensuit que X zt: iY n'a que

l64 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

les pôles u = o el i(= — v. La décomposition en éléments simples est donc la suivante :

s'a j b j H j{a + v) j (6 -i- v) ^{u -i-cjj

C!'(a — b) :fi'

r ffiu — a — b — i>) ■j(u — a — b) 1

L3'(rt -H t') 3'(/> -H t') tfj^ :!a -jb j{u-[- v)\

On remarquera que les seconds membres, dans ces deux éj^alités, se déduisent l'un de l'autre par le changement du signe, accompagné du changement de a et b en — [a + r), — (^ + t'). C'est ce dont on se rend aisément compte par les expressions de cosCX zb i cosCY et celles des constantes.

La coordonnée Z de l'origine des axes mobiles exige une quadrature; elle est donnée par la formule

^ = UcosAZ4-VcosBZ + WcosGZ.

Par des transformations successives, celte formule devient

^ - -j={x\(.p«^\-^ qyi) ^ ^i{p«-i^qy-2) + x^{p' Xi-\-q'yi)]

cVL j

= -i=\(p—p)^l^{ <l' - q )73^3 -+- pin H- qn J \j m

= -^ [(P'-P) (^3+ V hf^pm -i-qn-^ h^(p' - />)], \/ m

au iry-i^\Jin

s p(p' — p) -^ . ' ' [pu H- p( u + r) -t- pt^J. iryz s/m