II. oo

3o6 DELXltME PARTIE. — APPLICATIONS.

mieux demplojer la formule {4^)- ^^ cet effet, dans un nouveau

triangle sphérique T, , dont on donne deux côlés - — [o., - — [j.,

avec l'angle conipris ^1",, on calcule le troisième côté S,, cl l'on a enfin

5 = 1 — - y.( 1 H- cos2 //y ) L- L .

Examinons maintenant comment on [)cul opérer si Ion désire obtenir une approximation plus grande, tenir compte, par exemple, du carré et du cube de l'excentricité.

Soit Y — /il la hauteur du triangle T| ; il est clair que A) approche de A, plus que //o- De même, S', est une expression de S', plus approchée que Sq. Si l'on emploie donc h^ et S',, au lieu de ho et So, on peut trouver une expression de W^ plus approchée que T, . Mais alors il faut faire entrer en compte les termes du second ordre.

Prenons, à cet effet, la formule (38), que nous mettons, au préalable, sous la forme

6 4- /nu = <]/' — -L 7.2 sinaX cos A cosa.

On pourra calculer l'expression approchée de m par la formule (4o), qui donne

I , iv/âïï;

m, =^ - y. cosh, ■ ; — ?

4 ( A -^ Bi ) v/(i-t-A2)(i + Bf)

A = y/i — ■/-) Bi = i/i — y. cos^Ai,

ou bien encore par les deux premiers termes du développement suivant les puissances de x,

m, = .| x cos/ii [i H- |"/.('i -+■ cos^/îj)].

Aux termes du second ordre près, U coïncide avec s'-i-s", en sorte que la nouvelle expression W,, prise pour U*', est donnée par l'égalité

^2 = U' — l-/ni(S', -f- S", ) — ^-/.^ cosAi(siiv>.À cosa'" — sin?.),, cosa'/').

Dans le nouveau triangle sphérique T^, dont les côtés sont 1 — A et-; — A, avec l'angle compris ^1"^, on calculera, pour les

ciiaimtiif: vu. - PROiif,fc>iF,s i)i: cfiODÉsiK. 3o7

a/tmiils exlrèiiu's, tics \aleurs plus aj)[M()cliées a^- , a',-'. Si l'on veut poursuivre ro[)éralion en ulilisant les termes du troisième

orilre, on calculera aussi la hauteur- Ao, qui servira ensuite à

trouver un iiouxcl aiij^Ie U'',, approchant tie W phis que M',.

Si cependant on voulait eUeclivenienl pousser, dans ce j)rublème, la solution justju'à y faire inU-i'venir les termes du troisième ordre, il serait, sans doute, préférable de présenter cette solution sous une autre forme que nous allons développer.

Posons

C^ — A2 ,„ B2 Ai

Pour l'angle '^, déjà employé dans les formules (36) et (36<7),

il en l'ésulte

lang A cûlll = coscp.

On voit ainsi que les angles A, H, cp jouent, par rapport à un nouveau cercle auxiliaire, le même rôle que ")., h, -V ou que [x, A", à' par rapport aux cercles auxiliaires déjà considérés. Les angles A et H diflerent de A et h ou de [x et A- par des quantités du premier ordre ; mais cp diffère de 'l' par une quantité du second ordre seulement (Sort). Ces détails ne sont donnés ici que pour faire mieux comprendre l'origine de la solution actuelle, où l'on n'aura d'ailleurs à mentionner aucun cercle auxiliaire.

Pour parvenir aux formules que nous allons donner, il n'v a qu'à transcrire celles qui ont été développées plus haut. On y remarquera seulement que l'aplatissement s intervient ici plus naturellement que l'excentricité; aussi le mettrons-nous en évidence.

Les données du problème sont les latitudes ^ et pi, de (\eu\ points et la différence U' de leurs longitudes. On désigne par ^

l'aplatissement de la Terre, z = — ^•

1° En fonction des données on détermine deux angles A et A,, peu différents de 'x et a, :

tang2[a~ i-t-y/i£(u — e)sin2iJL

tang^A] I — î -t- y/i — t( 'i — £)sin"^|jL| tangua, ~ n- y/f— e(2 — e) sin^izi

3o8 DKIXIË.MK l'AlUIK. - APPLICATIONS.

■2." Ou j)rtMul [)Our inconnue principale un angle II, cL pour inconnues auxiliaires trois autres angles U, U,, <I\ 3" En posant, pour abrt-ger l'écriture,

B2 ^ 1 — ECOSMI,

C^ = 1 — z cos-A, Cf — I — t cos^ Aj,

on a les équations suivantes :

lan}ï2,v 4- tanp;2Aj — •>. tanp;A tanpAi cos'^

lang2H =

sin^*

'!> = W -;- £-~^ (u - iii) cosll -H R, A — f- D

j-î^ABcosH /^sin A y/cos^A — cos^H sin A, y/cos^Ài — cos'-'H

(i + ABXA-^B)2 V G^-t-AB C^ + AB

A cos^A — cos'^H

tans'

B sin^A

1 A ro<;2A, — cos^H

■2 B siii^Ai

4" Pour trouver H, on procédera par approximations successives en prenant d'abord ^F pour première approximation de <I> ^ la valeur trouvée ainsi pour H par la première équation servira à approcher davantage de <I>. La nouvelle valeur de 4> donnera ensuite une valeur de H, plus approchée, et ainsi de suite. La quatrième valeur trouvée ainsi pour H sera définitive, les formules données ici ne permettant pas une approximation supérieure.

Avec cette dernière valeur de H, on calculera la dernière valeur de B et de U — U,.

5" Les azimuts extrêmes a, a, sont donnés par les formules

. , ros^A I-4-G2 . „ cos^Ai i-f-C?

cos^H 1 -}- B2 cos^II 1 -i- B2

6° La distance géodésique S des deux points est déterminée par l'égalité

P z= — =- (sinA i/cos^A — cosMI — sinAj /cos^Ai — cobMl).

(A-^Bjy/AB