ATTRACTION DUN ANNEAU ELLIPTIQUE

Préambule. — AUraclion d'un anneau de forme quelconque. — Anneau elliptique; solution de Gauss. — Nouvelle solution. — Solution modifiée par l'emploi des covariants. — Discussion. — Sur l'usage de la fonction <I>. — Résumé de la solution. — Remarques sur les covariants.

Préambule .

Le problème que nous allons traiter a clé posé par Gauss dans ces termes :

(( Les variations séculaires qui, pour les éléments d'une orbite planétaire, résultent de la perturbation causée par une autre planète, sont indépendantes de la position qu'occupe cette dernière dans son orbite. Au lieu de considérer cette planète comme décrivant son orbite elliptique suivant les lois de Kepler, si l'on imaginait sa masse répartie sur cette orbite proportionnellement au temps que la planète emploie à parcourir chaque élément, on trouverait, par cette hypothèse, les mêmes perturbations. Il en est ainsi, du moins, quand les durées de révolution sont incommensurables entre elles pour la planète troublante et la planète troublée.

)) Cet élégant théorème, s'il n'a pas été encore explicitement énoncé, se démontre aisément par les éléments de l'Astronomie.

(') A consulter: i° Determinalio attractionis quani in punctiun quodvis, positionis datœ, exerceret planeta, si ej'us massa per lotam orbitam ratione temporis quo singulœ partes describuntur, uniformiter esset dispertita {Gauss Werke, t. III, p. 333). C'est à la fin de ce Mémoire que Gauss a parlé, pour la première fois, de la moyenne arithmético-géométrique, dont il sera question au t. III du présent Ouvrage. — a° Thèses présentées à la Faculté des Sciences de Paris par M. Edmond Bour. .Mallct-Bachelicr ; i855.

ciiAr'irni: mil — attraction \)\s anneai iii.i.iptiqie. 3ii

» Voici donc un |)i(il)lcinc 1res digne d'altenlion, lanl par Juimcmc que |)ar divers arlificcs m'cessaires à sa sohilion : déterminer l'atlraction qu exerce sur un point quelconque une orbite planétaire ou, en (Vautres termes, un anncuu elliptique dont r épaisseur varie, en chariue point, suivant la loi ci-dessus ex~ pliquée. »

Le théorème queGauss a (|ualilic à''élégant se trouve démontré dans un Mémoire très récent de M. George-W. Ilill ('). On y voit clairement que raltraclion, conclue de ce théorème, conduit, en effet, à la détermination des variations séculaires, aux termes près du second ordre j)ar rapport aux forces troublantes. M. Hill a d'ailleurs complété la solution du problème en continuant les calculs de Gauss jusqu'au point où peut se faire l'application numérique.

Nous donnerons ici, par une analyse nouvelle et simple, la solution du problème sous deux formes différentes, dont l'une est celle de Gauss.

Attraction d'un anneau de forme quelconque.

Soit une aire plane, limitée par une courbe INI; soit, en outre, dans le même plan, un point 7»o? que l'on prend pour le sommet commun de secteurs mm^^ni' ^ ayant pour bases des arcs mm' de la courbe M. On suppose que cette courbe M est la figure d'un anneau matériel, dont la densité, au point ;», est proportionnelle à I aire du secteur mmom', le point m' étant infiniment voisin du point m.

Il s'agit d'évaluer l'atlraction qu'exerce l'arc mm' sur un point S quelconque, puis celle qu'exerce l'anneau entier.

Employons des coordonnées rectangulaires ayant leur origine au point attiré S. Soient Xg, J'o^ '-o les coordonnées du point nio; x,y, z celles du point m; x -+- dx,, . . . celles du point m'.

(') On Gatiss's melliod of Computing secular perturbations, witli an application ta tlie action of Venus on Mercury ; by Gcorge-W. Ilill, assistant ^l/ne/vcan Epliemeris ( Astronomical papers préparée! for llie use <)f llie American Ephemeris and Nautical Almanac iinclcr thc direction of Simon N'cwconib, vol. 1; 1882).

Le létraèdre Snt/n^)/?)' a pour \olume le sixième de la qnanlilf'^ suivante :

G\ = .ro{y(h — Z(/j')--j-o{zdx — xdz) ~ Zti{x dy —y dx).

Soil h la distance du point S au plan de la courbe M et désignons par (h Taire du secteur nimoni' ; on a aussi 3V= hd<7. De là on conclut une expression de r/y. Cet élément aréolaire étant, jiar hypothèse, proportionnel à la densité de l'arc /»/;«', l'attraction a pour mesure le quotient de cette aire par le carré {x--\-y'--h ^*) de la distance S m et s'exprime ainsi :

X(,( y dz — z dy) -- yo( z dx — r dz) -r- Zo(x dy — y dx) ■2h{x'^^y^-{-z-^)

Pour obtenir les composantes de cette attraction suivant les trois axes, on doit multiplier l'attraction elle-même par les trois quantités

^x'^-i- y^-^ z'^ \Jx^-^y'^^z- \/ x- -^ y- -\- z'^

Que Ton pose donc, pour abréger,

x^ ->r y'^-r- z-, ^f^, 1 ^(ydz — zdy) ^^p ^ I y(ydz — zdy) ^^p ^ ' z(ydz — z

, ,,^ I xizdx — xdz) „ i yizdx — xdz') ,^ i z(zdx — r {\) { d():e= , , dQy= - ^^ -S dQ:= - -^ , —

1 x(xdr — vdx) I y(xdy — vdx) , i z(xdy—v ai\c — -- • ~ > ai\y=: - ~ , rtK; = - — —^—

que l'on désigne par P^, . . . , Pi^ ces différentielles intégrées tout le long de la ligne M, on aura, pour les composantes de l'attraction totale, les expressions suivantes :

I *x= y^(^or'x--roQx-T--«R.r),

(2) ' 1V= j^(xoVy~y,qy-^z,Ry),

*. = ^^(>oP=--JKoQ.^^oR.).

i:il.VPn«K VIII. — ATTUACriiiN 1)1 > ANNKAl i;i.l.lI'TIQl K. 3 1 3

Il \ a place ni jtoiir |>lusiciirs remarques. lOiil tlahord, les neuf dilTérciiliclIes (i) sout homogènes el du degré zéro j)ar rap- |)orl aux coordonnées .r, y, z. Les quantités P^, • • • , K^ sont donc purement numériques et ne dépendent absolument que de la forme du cône ayant S pour sommet et M pour base. ()ue l'on prenne pour figure de l'anneau une section quelconque de ce niénic cône et, pour point fixe nio, un point arbitraire dans le |)lan de cette section, les composantes de la force attractive seront nnulifiécs seulement par les quantités A, Xo^Xo, ^o; tandis que les neuf quantités P^, . . . , 11; ne seront pas altérées.

En second lieu, ces dernières quantités, dont le calcul exige des quadratures, peuvent être réduites à cinq seulement. On a, en effet, la première relation évidente

Un calcul direct donne aussi

avec deux relations analogues, d'où résulte une réduction dans le nombre des quantités considérées. Si l'anneau est fermé, l'intégrale du premier membre (4), prise tout le long de cet anneau, est nulle. Ainsi, pour un anneau fermé, on a les relations

(5) Qz=Ry. Rx=P., Pv=Q..

Quand il en est ainsi, on peut considérer <ï>.r, <I>j, <!>;, données par les égalités (2), comme les demi-dérivées partielles, prises par rapport àxo,j)'(), ^0? dans une forme quadratique

Voici enfin une dernière remarque générale, relative au cas où le cône, toujours quelconque, présente quelque svmétrie.

Si le cône est symétrique par rapport au plan x = o, il est inanifeste que les intégrales Q^ et R^ se composent d'i'léments qui sont, deux à deux, égaux et de signes opposés, en sorte que Qx et {{j: sont nulles.

3l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

La svniclrio par rapporl à iiii axe entraîne aussi l'évanouissement de deux intégrales; ainsi, la symétrie par rapport à Taxe des X l'ait évanouir les deux intégrales P,- et P^.

En particulier, si le cône est symétrique j)ar rapport aux trois axes, les six quantités (;")) sont nulles, et la forme quadratique <ï> est réduite à trois carrés. Les coefficients de ces carrés ont d'ailleurs, d'après (3), zéro pour somme, et il n'v a que deux intélégrales à calculer pour ce cas. Nous avons alors, d'après (2),

La force atlraclivc est donc située dans un plan dont la position, indépendante de la forme du cône, est entièrement déterminée par les deux points S et /;?„. Si l'on envisage un parallélépipède rectangle ayant son centre au point S, ses côtés parallèles aux axes et un sommet au point mo, et, sur ce parallélépipède, les trois faces passant par /??o ; les trois sommets, opposés à mo sur chacune de ces trois faces, déterminent le plan dont il s'agit.

Anneau elliptique. — Solution de Gauss.

Supposons que la courbe M soit une ellipse; le cône est du second degré. Rapporté à ses axes de figure, il a pour équation

et deux des quantités />, ^, /• ont un même signe, la troisième a le signe opposé. On peut supposer les deux premières />, q négatives, la troisième r positive, et mettre ces signes en évidence par les notations

L'équation (j) est satisfaite si l'on ])ose

(9) X : v/G^co3T :: j : /(FsinT :: ^ : /G,

et T est une variable auxiliaire qui servira pour l'intégration. On a déjà observé que les difTérentielles (i) sont homogènes et

Cn.VPITRF VIII. ATTRACTION l)\s ANNEAl FLLIPTIOIE . 3l5

(lu degré zéro; cll(\s ne d(''|)Ciulcnl que des raj)porl.s nuilucls des coordonnées. On y remplacera donc les coordonnées parles quantités (9) qui leur sont proportionnelles, et l'on aura ainsi

XoJGG'G" C'^ cos2TrfT

G'cos2T-i-G''sin2T)î

Vov/GG'G" C" sin^Tf/T

^0 (G+G'cosîT-^G'sinîT)^

. cq/GG'G'^ I

fJT

(G ~ G'cos^T -f- G"sin2T)'^

Telles sont les composantes de l'altraclion, sous la forme même considérée par Gauss. On obtient ces trois intégrales en dérivant, par rapport à G, G' ou G", l'intégrale unique

J^ v/G-^G'cos2T-4-G"sin2T

qui se ramène immédiatement à une période elliptique. Suivant le signe de (G' — G"), on peut l'écrire, en efTet, sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

-^cos2T

On peut indififéremmcnt remplacer, dans ces intégrales, cos-T et sin*T l'un par l'autre; on voit donc que les deux intégrales sont ici la demi-période R pour les fonctions elliptiques dont

le carré du module /.- est l'une des deux quantités -^7—^- >

^, p • L'une de ces deux quantités est positive, moindre que

unité.

l*ar le moyen des formules (36) et (St) du (chapitre X (t. I,

3lG DEUXIÈMK PARTIE. — APPLICATIONS.

p. 2.")3), on exprime aisément les dérivées de U en fonclion de K el de l'inlégrale complète E. Le calcul de l'attraction est ainsi achevé.

Celte attraction est bien celle qui se rapporte au problème posé par Gauss, pourvu qu'o/î suppose le point m^ an foyer de V ellipse M. En ellet, d'après une des lois de Kepler, la vitesse aréolaire dune planète sur son orbite est constante quand le sommet des secteurs est le Soleil, c'est-à-dire le foyer de l'orbite.

Pour appliquer cette solution, il faut calculer la position et la grandeur des axes du cône ayant son sommet au point attiré S, et dont la base est l'orbite troublante. Ce problème de pure Géométrie se résout facilement, comme on sait; mais il exige la résolution d'une équation du troisième degré, dont G', G" et — G sont les racines ('). Si nous n'insistons pas davantage, c'est que la résolution de cette équation du troisième degré est superflue. Nous allons l'éviter en introduisant les fonctions elliptiques sous la forme moderne.

Nouvelle solution.

Reprenons l'équation du cône sous la l'orme (7). On peut exprimer j;-, j'-, z- par deux variables auxiliaires s et p, comme il suit :

ip rj){p~.r)'' '

/ . ■ o fjis — C])

Ces égalités donnent lieu elleclivement à la relation (y) par élimination de 5 el 0. De plus, on en déduit aussi

en sorte que p a la même signification que précédemment.

Cj C'est iiour qui, dans sa Tliéae citée précédemment, a donné cette interprétation géométrique des formules abstraites développées par Gauss.

CIl.VI'rrilE Mil. — ATTIIACTION d'l.N ANNKAU KLLIPTiyUE. SlJ

Des deux (Jcrnières t-galilcs {\o), on conclul

[z y) \s — r s-q}"' {s — r){s — q) [lar conséquenl, d'après (i),

•*■ \ p» (s — r){s — fj) Mais les égaillés (lo) donnenl ri .3 v/'V

p» ip — qM/j — r)(r—p) Posons, j)our abréger,

(il) , ^^' : = G, \/ ^(s — n){s— qUs — r) = ii.

Nous aurons alors, pour dP^, et, par permutation des lettres, pour dQy et c/Hj, les expressions suivantes :

S dPa:=^- \G(r - fj)(s —p)ds.

SdR:= \C(q ~p){s — r)ds.

Pour exprimer ces différentielles par des fonctions elliptiques, on posera

pu — e^ p« — e^ pu — e^,

d'oîi résulte

S = p'«, S f/« = ds,

et, par conséquent,

/ dV^^lGir-q)(pu-ey,)du,

( c/R;=2G(7 — p){pu — ey)du.

Les fonctions elliptiques sont ici à discriminant positif et les racines Cx sont déterminées par les égalités

di) eci — p = Co — q = e.^—r =: — \{p-\-q -+-/•)•

3l8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.

Supposons encore, comme plus haut, que deux des quantités p,q^ r soient négatives, la troisième positive. D'après les égalités (lo), la réalité de a*, j', z exige que s soit entre les deux plus petites des trois quantités />, q^ r. Si, au contraire, on supposait deux quantités positives cl une négative, 5 devrait être entre les deux plus grandes.

Dans rhypolhèse adoptée, pu reste compris entre les deux plus petites racines Cai c'est-à-dire entre e^ et ^o, en sorte que a — w' est réel. On fera le tour complet du cône en faisant varier u — w' dans l'étendue d'une période 2w. L'intégrale indéfinie de pu — e-x est — Ç^K -r w^a); l'intégrale définie est donc — 2(r, -1- to^a). Remettant pour c-j, son expression (i4)) O" oljtienl

\\ = C^q- r) {^r, -^ ''^' ~.^ " ^ coj .

Les autres composantes Q,-, Rj se déduisent de là par la permutalion circulaire des lettres /?, rj, r. En multipliant P.t, Q -, , R^ respectivement par-T-", --> y 7 on a les composantes de l'altraction.

Jusqu'à présent, cette solution difTère seulement par la forme de celle qui a été exposée d'abord. Les axes de coordonnées sont les mêmes et la connaissance de /?, q, r paraît nécessaire. Mais on sait (t. I, ch. X) que r, et (o peuvent être calculés par le moyen des invariants seulement, sans qu'il soit nécessaire de trouver les racines e^^. On pourra donc ici trouver r, et co par les coefficients du polynôme (s — p){s — q){s — r) , sans calculer les racines p, q, r. Pour s'allrancliir entièrement du calcul de ces racines, il faut, en outre, trouver les composantes de rallraction suivant des axes quelconques; c'est ce que nous allons faire au moven de la forme quadratique fp.

Si nous posons (en supprimant l'indice o de x, j', z)

'^'' I N = C[p{cj — r)x'--^ q( r — p)y'--^ rip — fj )z'-],

nous avons maintenanl. pour la forme $, l'expression suivante:

M + ojN.

Il s'agit de calculer les deux formes quadratiques M et N.

ClUPlTKi: Mil.