CHAPITRE X

Recherches ultérieures sur les propriétés des F onctions |

99. Coxsinéroxs la fonction g(x) exprimée par la suite infinie

x 1 T 1 x Li x = +: . 3+373 . Le era L zx tete, T. IL 74

438 INTÉGRALES EULÉRIENNES, dans Jsquelle nous supposons x << 1; si on développe cette quantité suivant les puissances de æ, et qu'on désigne, comme ci-dessus, par $, la somme des puissinces réciproques du degré nr, des nombres naturels, on aura px) = Sex — Ssxt Sa — Sixt etc.

Mais par l'équation (18), on a

log T(1+x) = — Cr +! S,L'—?Ssx Lis, xt —eto.; différenciant celle-ci et comparant le résultat à la valeur de g(x), on en tre

QC) C + LE (HS); (26)

d’où l’on voit que la suite désignée par g(x) peut être sommée immédiatement, au moyen du coëficient différentiel de la fonction log T{1 + x), puisque d’ailleurs € est une constante connue (art. 86).

Observons que la fonction g(x) peut être mise sous la forme

1 1 L: 1 L é 1 C++ Ge, alors on voit qu’elle est la différence de deux süites qui ont l’une et l’autre une somme infinie, maïs qui étant ainsi rétranchées terme à terme, l’une de l'autre, laissent pour reste ine quantité finie. Gétté quantité est d’ailleurs la même qui a été désignée par C'=—N, (art. 8x), et elle réprésente par conséquent aussi la somme de Ja suite harmonique

1 UE LE IE «+ 91. Puisqu’on a généralement ‘ 1 I 1 1 5:12 dir (a x Cr) G-s) ae 0 + CES,

on trouvera, par des différentiations successives, les sommes de différentes séries, savoir :

- | = Eee —— ddir 1x) cote topo tag += te,

1 ï L L BIT (rx) Grp ter topo tags + ete à ?

1 1 L 1 t dir(i+z cn tea tea tag rez 55. E,

I ! 6. I | ne. dir(r + x) en to ep te + ee = — 55 ES, etc.