CHAPITRE VI

Méthode trigonométrique pour construire, d'après un module déterminé, la Table des fonctions F et E.

732. O: peut construire cette Table par une méthode qui n’exige que

des calculs trigonométriques très simples ; voici en quoi consiste cette méthode :

Supposons qu'après avoir pris un module c à volonté, on veuille trouver l'amplitude @ qui réponde à une fonction F égale à = de la fonction complète F'; cette amplitude se déterminera par la méthode de l’art. 1, si Ponac* +, ou si c* étant > ; , n’est pas trop rapproché de l’unité ; et par la méthode de l'art. 95, si 1 — c* est très petit. » Soit dans l'un et l’autre cas, æ& ou &, la valeur de l’amplitude qui donne F(a)= 35 F', nous appellerons successivement &,, æ,, æ,, les amplitudes qui donuent F (a,) = 2Fa, F(as)=3Fa, F(a,)= 4Fa, etc., jusqu’à F (a) = 2008 (a) = F'. nes

Cela posé, la Table que nous voulons construire contiendra ;‘ dans la première colonne, les nombres 1, 2,3....200, qui représentent les fonctions F croissant par intervalles égaux , depuis la fonction F (a) = F jusqu’a la fonction complète F'; dans la seconde colonne seront les valeurs correspondantes de l'amplitude, savoir, &,, &,, æ, jusqu’à &,, ou : #. Cette Table sera en quelque sorte l'inverse de celle que nous avons construile par la première méthode, et dans laquelle les amplitudes croissent par intervalles égaux ; mais la théorie des fonctions F fournit des for-

mules très élégantes pour construire la Table dans ce nouveau système.

733. Désignons par @ un terme quelconque «, de la suite &,, æ&,, æs, etc., en sorte qu'on ait Fg = xFæ; nous ferons par analogie F(g") =(n+1)Fa, Fo" ={(n+2)Fe, et dans le sens inverse, F (g)=(n—1)Fæe, .….... Fp®=(n—2) Fa, etc. Cela posé, soit À (æ) ou y/(1—c* sin") —a, l'équation générale de l’art. 22, deviendra

tang (+9 +39) = atange.

Mais on a @! — 29 + @° = d'g°; cette équation peut donc se mettre sous la forme

tang (p+ + d'g°)= a tang y; on déduit de là,

. (a— 1) tangg ange PQ = ge . — k — ‘ ; Soit 4 = > 5 ou k = +, cette équation deviendra 1 s k i tang + d Pa — rss?

et on en déduit ultérieurement, sin + d''g° = — k sin (29 + 1 d' ).

Cette équation fait voir que + d*®° est toujours négatif; faisant done + d'9 = — w, on aura

sin & = À sin (29 — w).

‘Or k est une quantité très petite du second ordre par rapport à æ, puisqu'on a

c sin æ& =, et qu’ainsi À se déduit de csinæ, suivant la même loi que le module c° se déduit du module c. On voit donc que & restera toujours une quantité très petite du second ordre ; son maximum aura lieu à peu prés lorsqu'on a @ = 45°, et ce maximum sera à peu près = 4... =(icsinaæ) — + ca sin æ; dans les points extrêmes, lorsque 9 = o ou ® = 37, la quantité w sera nulle.

L’équation sim & — k sin (29 —«) est facile à résoudre dans les différens cas, avec toute l'approximation nécessaire ; on peut d’abord négliger « dans le second membre, ce qui donnera sin & = À sin 29, ou simplement « = À sin 29 ; ensuite pour avoir une plus grande approximation, on substituera cette valeur dans le second membre. Soit alors À sin (29—«)==p, on aura sin © = p; douc si on appelle R” le nombre de secondes contenues dans le rayon , afin que Ro exprime le nombre de secondes de l’arc & , On aura

R'o=R'p(1+5i RH. F + etc.)

On déduit aussi immédiatement de la formule tang (@ ++ d"g°)=atang®, une autre valeur de + d"@° on w, savoir :

œ—=—2?d"e = k sin 2® — 2 À sin 49 + 5 À sin 69 — etc.