CHAPITRE XVI

au sinas d'un arc très petit arc » ^ qui sera sensiblement égal à Parc ; et de cet arc ou de ce sinus , on déduira la valeur de l'arc proposé a =5 â*û> , n étant le nombre des bisseclions.

On procédera d'une manière semblable pour déterminer par des bisseclions continuelles , la fonction Fa dont l'amplitude est donnée. Soit en général F^ un terme quelconque de la bissection et F^' le terme suivant , en sorte qu'on ait F^' = 7 Ff, on déduira ^' de (p par la formule

^ sin î^

or on peut mettre y^{\ + ^ A^) sous la forme y v^( i + c sin ^). . . . + 7 |/( I — c sin ^); ainsi on aura en général, pour déduire ^' de ^ , la formule très simple

. , V/(i+8in(p)— |/(i— siiKp)

Sm Œ? =: — — ; ; r— r — ; .. T •

Cette formule servira à continuer aussi loin qu'on voudra la suite des bissections -, lorsqu'on sera parvenu à une valeur très petite de sin (p , celle du terme suivant sin ^' se trouvera plus facilement par la formule

sinç» =siii^^[ I 4. --^ c?» sin» ^ + 7-^-77— ^ c* sm* ^ + 7-> ^(f me ^+etc. );

on aurait en même temps

enfin si l'on fait les calculs par logarithmes , on préférera les formules suivantes dont la loi n'est pas moins simple,

, . , , , , . mc*sin"®/ . 3 c' sin* <f , 3,5 c^sin*© , 3.5.7 c^sin^^ , ^ \ /8.n^'=^smi^+ — 8-2(«+^ . -^— + p— 3--+ÎXB— r+***^-)'

,. I ,/, . X . w»sin'^/ , 3 sin*^ , 3.5 sin^^ , 3.5.7 sin^^ , . \ /s.ni^=/{ismO+ — g- (' + ^ • -^- + 4:6 • -r +4X8 • -J-+etc.^.

Supposons qu'après un nombre n de bissections , on parvienne à un arc très petit tù qui sera la dernière des valeurs de ^ ; alors en supposant seulement cù^ négligeable, on aura avec une exactitude suffisante

Fûtf = û> + ^ û)^ — — ( 4 — gc- ) û)%

Eu) = û) — ^ û)' + -^ (4 — 3c^) û)5 j connaissant Fo), on en déduira immédiatement Fa = ri'Fo), n élsuit le

aao CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES.

nombre des bissections. Quant à la valeur de Ëa, elle se déduira de toutes les équations de la forme E^ = 2E9' — c* sin* ^ sin 9% et on aura en général Ett = a"Eû) — c*Z , Z étant la somme des n termes sin^ (fi sin 9' -f- a sin* (p' sin ^" -f* 4 ^i*^* ^" sin^'" + etc., formés avec toutes les valeurs de ^ , en partant de la première a jusqu'à la dernière ap.

Nous n'insisterons pas davantage sur cette méthode, parce que malgré sa simplicité apparente et l'élégance des formules, la longueur des calculs qu'elle exige , la rendrait presqu'impraticable , dans les cas où Ton voudrait obtenir une très grande approximation.

TABLE I