CHAPITRE XVI

cot ^° = -j ( cot ^ — tang ^)H- j £?• (cot ^ +taug ^),

dont le calcul est assez facile, pourvu qu'on connaisse à la fois cot ^ et taDg ^; il faudra par la même raison déduire tang (p^ de cot ^% et on calculera semblablement l'angle ^°° par la formule

cot (p**» = i (cot (p* — tang (p*) +| c^*' (cot ^^ + tang ^0-

On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on parvienne au terme ^^"^ de même rang que c^'^, et dans chacun de ces calculs, on aura soin de noter, comme il a été dit art. 838, la valeur approchée de l'arc dont on a calculé la cotangente. Connaissant donc le nombre total de degrés contenus dans le dernier terme ^^"^^ la valeur exacte de cet arc pourra être déduite de sa tangente connue avec toute la précision nécessaire. Réduisant ensuite cet

arc en parties du rayon, et faisant <t = ^, on aura F^=sKO.

Il reste à calculer E^, ce qu'on fera par l'équation E^ = LF^ +Pc sin ^ , dans laquelle on a

T ^^^ ^^ u ce c ce

Pm m ^m — m ^m ^ m^ = - cos o) + -7- cos Où cosa>*^ H g- cos où cos û)* cos û)®^ ^- etc. ;

d'ailleurs les angles ûd, û)*, û)**®, etc., se déduisent des angles ^, ^%^**% etc., par les formules tang û> = & tang ^ , tang û)** = iP tang ^°, tang «•• = i'^tang ^*'% etc. 5 et comme on connaît tang ^, tang ^% etc., on aura immédiatement

c cos û) =: 7-77 r-r— r— r , C** COS O)' = —r. . , ^ ^ T-tt , CtC.

Cette méthode, que nous employons ordinairement depuis o =:o jusqu'à sin 45*", peut être étendue beaucoup plus loin, jusqu'à c s= sinSi", parce que dans cette dernière limite les séries n'ont qu'un terme de plus que pour la limite c = sin 45*. Mais depuis c = sin 81°, jusqu'à c &== i , la seconde méthode mérite la préférence , à raison du moindre nombre de termes dont les séries sont composées, et le calcul devra être fait comme il suit.

845* On formera d'abord la série des modules croissans c, c^, c^', ... et celle de leurs complémens & , V ^ V'.... par les mêmes formules que dans l'art. 841 9 ayant soin seulement d'échanger entr'elles les lettres b et c , T. n. a8

:2i8 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

ainsi que les signes ^ et '. La suite h^V^ V... étant donc prolongée jusqu'à un terme ^^ dont le quarré soit négligeable, relativement au degré d'approximation qu'on a en vue, on aura en logarithmes hyperboliques

"R* / ITIVf K

F'tf = — log T55, ou en logarithmes vulgaires , F'c = — log -g^j, d'ailleurs le coefficient K a pour valeur

on calculera en même temps la fonction E'c par les formules

E'c = LT'c 4- ^ ,

Dans cette méthode, il reste à calculer le logarithme de 7^, avec le

degré de précision requis.

Si ensuite il s'agit de calculer les fonctions F^, E^, qui répondent à une amplitude donnée , on suivra les formules ordinaires ^ lesquelles ne sont guère susceptibles d'être simplifiées , si ce n'est la formule principale qu'il convient de mettre sous la forme

cot (p' = i-±i^ cot (p + y/[(L±i^)W ? + JQ î

elle servira à déduire cot ^' de cot ^j on déduira de même cot ^^' de cot 9', et ainsi de suite.

844- ^^ terminant ces recherches , nous croyons devoir faire observer que par la simple méthode de bissection qui n'exige que des extractions de racine quarrée , on peut calculer jusqu'à tel nombre de décimales qu'on voudra , les fonctions F et E correspondantes à des valeurs données du module et de l'amplitude.

Remarquons d'abord que pour la bissection des simples arcs de cercle ^ on a les formules

sin-iÇ) = i ^/(i4.8in^) — iv^(i — sin^), cosi^ = i ^/(i + sin(p) + iï/(i — sin^);

ainsi le sinus et le cosinus de l'arc i ^ se déduisent à la fois de la valeur donnée de sin 9. Partant donc d'un sinus connu tel que sin 45* , sin 3o^| ou en général sin a , on peut y par des bissections continuelles , parvenir