CHAPITRE II

formule qui ne diffère pas de la précédente, parce qu'en mettant - au lieu

dé z, l'intégrale f ^ ' , — se change en j .. ^g»^> ^®* limites étant

toujours 2 = 09 z:= od.

16. Considérons enfin, dans la supposition de n pair, la formule

V/(i— Jc»)»-»

si on fait xr^ = i + z*, on aura par la substitution ,

et l'intégrale du second membre devra être prise entre les limites z = o, z= 00.

Maintenant, par la combinaison des équations (x) et (0^)^ ou obtient

a • C08 aùù

et par conséquent aussi ,

De ces deux-ci on conclura

©= a'"^cotanga«.(|^) (d'),

d'où l'on voit que n étant pair, il su£Eit d'avoir les valeurs ^^\^ pour tous les cas où a ne surpasse pas \n^ et qu'ainsi le nombre des auxiliaires nécessaires pour déterminer toutes les fonctions \p\ qui répondent à une même

valeur de n^ se réduit à 7 ou —r—'i selon que n est de la forme 4^ou4^ -h s*

17. A l'aide de l'équation (d^), on trouvera des relations entre les auxiliaires A, , Ag, k^y etc., qui réduiront leur nombre comme il vient d'être dit. Pour cela reprenons la formule (t) ,

(a\ ^^ AgAtf^,!... .Aaa i 8in(g"t- i)#8in (g'f'^)^»» ■ ■ mp ^<^ .

elle donne , en faisant n = am ,

(yy*— g\ Am.^ . Aw a4.i . . • Aam— afl-i sin(yy>— a+i)#8m(i»— a+a)#> . .iin(airo— aa)i>^ n^'-^a) AiAA*..Aau-a»i * sin« sîn 24i. . .»in (ii*—a)# '

S8o INTÉGRALES EULÉR1ENNES ,

substituant œs Taleors dans l'équation (d'), et fiôsant les rëductiona dans l'hypothèse a^^m^ on aura généralement

AaA»4,|. *.A>^| ^^ — - iîn(iii— I V sin(m— a)#. , .§in(m— a+i)^ ^ ,.

▲ a * ^S 2 ■ • • • ^ ■ % * #^ I 1 If ■ I C e i •

1 |A, ,- . . Am^ •inatfSinCa+i}'. • .smQaa^i)!» ^ ^

De là résultent, en faisant successivement a =: i , 2, 3, etc. , des équations particulières qui peuvent être mises sous cette forme

Ai«a» sinû»

— T--.2 ^-sin3»

Al

AeA, 14.1 .

etc

en-

Elles devront être continuées jusqu'à ce que le nombre en soit ^-^ ^" n — a

iS.Par exemple, lorsque n=^ i2j il y a cinq auxiliaires A=:(-^), A^s:(f), As=(f), A4=:(^) , A5 = (f), entre lesquelles on a ces deux équations

As = A| • 2^ sin cû,

A.Aj

\ = ^^^ . 2^ sin 3a>.

De sorte que le nombre d'auxiliaires nécessaires se réduit à trois, pour lesquelles on peut prendre A,, A., A3.

Si on préférait de prendre pour auxiliaires trois des quantités M« , il faudrait avoir recours aux équations (u) , lesquelles donnent

sin«

sin 2« ' siii*.a«

8iii3# sin^ ' sin* 3m

sin5« 8in6«r*

Au moyen de ces équations et des précédentes , observant d'ailleurs qu'on a » = — , on trouve