CHAPITRE U

doue T- j = 2 cos acù. \j——\ ou , en substituant la valeur donnée par l'équation (v),

y=2 -cos^y^^^^^^ (x).

Cette formule n'a lieu que lorsque a est ^ î n; si a est ^ î n, on commencera par prendre la valeur de (— i^T") » laquelle sera

j;— ^)=2» cos(/i-a)«^— -:j:^,

et on en dédtdra celle de f^ati moyen de l'équation (q). On aura ainsi, a étant ^ i n j

2a — 7» 8111 am

i4* Si l'on compare maintenant les équations (r), (1) et (y), on en tirera les formules

1/(1—*") yl/(ï+«*) f /v

\/(i — X") "^ (20 — 7>)8ina4v V l/(i +«') J

la première ayant lieu lorsque a est <C î /^^ et la seconde lorsque a est >in.

Lorsque n est impair, si on &it dans la première équation ^ j? s= i --7/* et zzsy^ — I, les formules intégrales comprises dans les deux membres se réduiront l'une et l'autre à la forme

ii-yy'dy .

on voit donc que la partie de cette dernière intégrale, prise depuis j^sso jusqu'à j^ =: I , et la partie prise depuis j'rs i jusqu'à^ s 00 , sont entre

elles :: cos— : !•

i5. Considérons de nouveau la formule

si Ton fidt

5,8 INTÉGRALES EULÉRIENWES,

on obtient d'abord

Soit p^ 3a et y ^ n — a, ou aura

et en achevant les substitutions, il viendra

cela posé, il &ut dbtinguer deux cas, selon que a est < ï» ou > i». Soit, i*.a-<^n,on aura parles formules du n** i3,

/ M \ > . /« — atf\ ^ « , /* «*~'dk

\n — 1/ aiiD2(M * V 0 / ^' * oeinaaâi V yCi+a")'

donc

Soit, 3*. a^;n, on aura par l'ëquation (b),

(aa \ __ aa ^ n /aa ^ »\ F» — aj a ' \n — aj'

mais en ftîsant a=:n^c, on a

et par l'équation (v) , on a

Donc au lieu de Téquation (a') , on aura

/■/■-^■j «"■•■•""'An aa— » rtr-'-'dt ,,,.

Au reste, cette dernière équation se vériGe immédiatement au moyen de la fonction P^sa*^-" \/(i +s') — z', qui s'évanouit dans les deux limites, lorsque z^o et lorsque z^oo ; car si on prend la difTérentielIe de cette fonction , et qu'ensuite on l'intègre , on trouvera

Jy" "^ 1/(1 +.-)^— -u, J 1/(1