Soit /i s= 6 et m = 22 , on aura l'équation générale

(a,n)'+(6-a,6)'=^-5^, d'où l'on déduit successivement

(a,6)-+(4,6)-=jj^:lj}, („')

(3,6)- + (3,6)-;=^^ ou en substituant la valeur a» = -g ,

La somme de ces équations est

d'où l'on déduit S« ss ^ ^*, ce qui est un résultat connu; mab la démonstration qu'on en donne ici n'en est pas moins remarquable.

Outre cette valeur de S, , on connaît (3^6)*:=^ ^, (6,6)'= ^ Sssyfg ir^x mais les quatre autres quantités (1,6)*, (:2)6)% (4)6)'} (^96)* ^^ peuvent être déterminées par les équations précédentes.

396 INTEGRALES EULÉRIEINNES,

Observons cependant que puisqu'on a

(a,6)-=i;+J-. + 4r + ^H-etc.,

il en résulte

(2,6)*= i(. + J; + i, + ^ H- etc.)=i(,,6)- + i(4,6)';

donc les quatre quantités dont il s'agit peuvent être déterminées au moyen de l'une d'entre elles, par exemple, au moyen de (i,6)% de la manière suivante :

37. Quant à la valeur absolue de Ç, elle n'est déterminable exactement par aucune formule connue ; mais on peut en trouver une valeur aussi approchée qu'on voudra par la méthode qu'Euler a donnée {Cale. diff. , pag. 45 1.)

Pour cela ayant fait

on trouve en général

^ = vj — — • — , -f- - •

A', B^, C, D', etc. étant la suite des nombres BemouUiens.

Il résulte de cette formule que la somme de la suite prolongée à l'infini étant désignée par (a, 7ï)% on a (a, /i)*=:Cj donc réciproquement on a

ya,n) — ^ -t- ^-^^^ — â-^a + 7i*)* ^TôT't^^

— ; — ; n5 + 7 — \ — N? — etc. ipcr)

On sait que la suite A', B', C, IX est divergente à compter du troisième terme , et le devient plus que toute progression géométrique donnée ; d'où