CHAPITRE IV
il suit que la suite contenue dans la formule (a/) deviendra nécessairement divergente après un certain nombre de termes. Mais ce qui est finrt remarquable, c'est que cette formule n'en est pas moins propre à donner la valeur de (a^ ny avec tout le degrc d'approximation qu'on peut désirer. Pour cela il faut donner à x une valeur arbitraire d'autant plus grande qu'on voudra obtenir ime plus grande approximation (la valeur a?= 10 suffit pour donner 18 ou ao décimales exactes). Au moyen de cette valeur j on commencera par prendre la somme effective de la suite
!-; H- ,-^:iT^ï +
substituant cette valeur de s ainsi que celle de oc dans Téquation (oc')j on aura pour la valeur de (a, ti)* une suite d'abord très convergente , mais dont la convergence diminuera de plus en plus, jusqu'à un certain terme où elle deviendra divergente, et cette divergence augmenterait de plus en plus à l'infini.
Par le calcul des termes successif , on obtiendra des résultats alternativement plus grands et plus petits que la valeur cherchée, et on devra s'arrêter aux termes où cesse la convergence.
Ces termes indiqueront deux limites fort rapprochées, entre lesquelles se trouve nécessairement la valeur de (fl, /i)*.
Si ces deux limites ne donnaient pas encore une approximation suffisante , il ne resterait d'autre parti à prendre que de recommencer un nouveau calcul en donnant à x une valeur plus grande. Mais , pour l'ordinaire, une valeur médiocrement grande de x donnera une très grande approximation.
Nous donnerons ci-après un exemple du calcul de ces sortes de suites qu'on peut appeler suites demi^convergenies.
38. Soit maintenant 7it = 3 et /i==:6, nous aurons l'équation générale
d'où l'on déduit les deux suivan tes :
sia^ eut '
«'co8«
D'ailleurs on a (6,6)' = rfg Ss , et
(.,6)» -H (2,6)» -H (5,6)»+(4,6)» + (5,6)» =2|g S*. T. II. 69
Sg8 INTÉGRALES ELLÉRIEMES,
Ces ëquatkms sont insuffisantes pour déterminer toutes les inconnues ; mais les diviseurs de 6 qui sont a et 3, en fournissent de nouvelles. On a en effet ,
(a,6)»= J (i+^+i5+î^+etc.)=J [(i,6)»-f-(4,6)»],
(3,6)' = ^(i+i-,+p+ii -Htc.) = i^[(.,6)» + (3,6)»+(5,6)»] ;
de là on voit que les cinq quantités (i,6)», (sfiYi (5,6)», (4,6)', (5,6)' se détermineront en supposant connue l'une d'entre elles. Ainsi en faisant
(i,63»^Ç, on aura
La somme de ces quantités doit être égale à Ij^ Ss , ainsi on aura
ou
Réciproquement on peut eiprimer toutes les quantités (f^ô)^^ (^y^)', etc.,
au moyen de S9 et de a» = g, et on trouve
(1,6)' = ^ s, + aa»' v^5 (a,6)' = îâ S, + V t/5 (3,6). = Jg S.
(W = ^ S, - V 1/3 (^'^)' = ^ S, - a«' ï/5 (6,6)» =: jig S, 39. On déduirait aisément des équations (q'^) les autres propriétés
