CHAPITRE VII

Des Intégrales Eulériennes de la seconde espèce.

44« i^oNSiDÉKONs maintenant Fintégrale/jc*"*cte Oog-^ , que nous supposerons toujours prise entre les limites j: = o, x = i. On a d'abord, en intégrant par parties,

et comme la partie hors du signe s'évanouit aux deux Hmites, pourvu qu'on suppose /i^ G, on aura alors

/O-T' dx (logi)' = ^fafr:^ dx (logi)""' J («)

et en général, si n est un nombre entier positif,

4o6 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Lorsque n ne sera pas un nombre entier, Finlégrale fx'^^^dx ^log - ^

sera en général une transcendante dont il convient d'examiner les propriétés.

Et d'abord, au moyen de la formule (a), on pourra toujours ramener cette transcendante au cas où l'exposant n est com[)ris entre o et

Déplus, j'observe que sans rien diminuer de la généralité du calcul,

on peut faire m=i ; car la formule /af^^dx Çlo^^ -j étant proposée, si l'on fait x"=z, cette formule deviendra -T^ifdz Nog -j .

45. Cela posé , il suffira de considérer l'intégrale /dx Oog- j , dans

laquelle nous supposerons que a est positif et plus petit que l'unité. Cette quantité étant simplement fonction de a, nous la désignerons par F (a) et nous ferons

r(fl)=/iir(logiy"\ (»

L'objet des recherches suivantes est d'évaluer la fonction F (a), lorsque a est une fraction rationnelle donnée, telle que t, 5> l? ^^^'j ®^ "^^"* "^"* proposons particulièrement de comparer entre elles les fonctions qui

répondent k des valeurs de a de même dénomination , telles que F T-J,

F r- J , etc. Enfin nous chercherons aussi à déterminer par approximation

la transcendante T(a) pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle.

46. En prenant les intégrales depuis x = o jusqu'à xcsi, et supposant /» > I , on a cette formule de réduction ,

d'où il suit que si m est un entier , on aura exactement

J ^ J et.A'^Ç.OL -f- 2o. . . . ce -f. (l7t — l)o'

Désignons par ^ (a, m) l'intégrale /x*'^^dx(i^^x^y''\ prise depuis iT = 0 jusqu'à a: = I ^ et dans l'hypothèse que m est un entier positif, on aura donc