CHAPITRE IV. 4o

cette intégrale devant être prise depuis z = o jusqu'à z = i , elle se réduit

p^j. ^nv ^ pC.-,)

La première valeur

donc on aura successivement

P» = log a, P* — ? P» — . '

5 '^ ÎTS»

P'-ssÊp"— '

Au moyen de cette loi très simple, ou calculera aisément les différens termes de la suite décroissante P", P', P", P'", etc. Ensuite on aura Si par la formule

ce qui donne une approximation très rapide, puisque chaque terme est moindre que le quart du précédent.

En calculant cette suite jusqu'au terme P^* inclusivement , on trouve S)= 1.3030567. Euler a trouvé par la méthode dont nous ayons parlé, et en poussant l'approximation beaucoup plus loin,

Sj = I • 202056903 1 5959428 1 •

(Voyez Cale, diff.^ page 453.)

43. Pour trouver par des procédés semblables la valeur de la transcendante ^, demeurée inconnue dans les équations (v'), j'observe qu'on a

4o/t INTÉGRALES EULÊRIERNES,

de là je tire

donc

^ "~ T5 ^ "*" laj r y + y» »

tout se réduit doue .à trouver la valeur de cette inl^irale.

Si on £eiit successivement /= î (i — u),^;^ ^ (i -f~ u), et qu'on ajoute les deux transformées prises positivement, on aura

-■"•'-yî^HCîéi.).

noufelle intégrale qui doit encore être prise depub ii=o jusqu'à k = i • La première partie de cette int^ale

Pyr^— a j^g ^ arc tang ^, et en fisôsant u s=s i ^ elle se réduit à

alog 4 Z nii i5J?8^ 1/3 • 6 " 3v/3 •

L'autre partie

étant appelée T, on aura par le développement de la fraction,

or, en intégrant par parties, on a

— a*" rfa log (i — tt') = t: — 1(^ (i — «') + / r — . îî- ,

et puisque la quantité (i — tt'""*"') log ( i — a') s'évanouit aux deux limites de l'intégrale , on a simplement

Développant la quantité sous le signe et int^rant depuis ii=o jusqu'à ii:=: i,