I et

==— = S-— Q (a+Amb , /w) ,

et multipliant ces deux équations entre elles, on a pour produit

A/71. A/Il + I. ., .A77»+ 771— I 0 (eft ^ AlTl -f> T^^)

Le premier membre, en vertu de Féquation primitive, peut être représenté par fx^^^^dx{i — x)"""'^ et parce qu'on peut mettre af à la place de X ^ sans changer les limites de l'intégrale, il peut être aussi représenté par nfx^^'^^dx^i —a:")"*""; donc on a

£ette équation ainsi exprimée par un nombre fini de termes, acquiert une plus grande généralité , et ne suppose pTus que m est un nombre entier. «

En effet, les deux membres devant se réduire à une même fonction de m et de A/w, laquelle est

A/Tl I A771+1 1.2 A77J+2 ^

on est maître de donner à m et A des valeurs positives quelconques, et à plus forte raison aux quantités a, f , n, qui disparaissent dans les deux membres. 47. Soit donc a= I et f = à un infiniment petit, on aura

4o8 nrrÉGRAiES

de sorte qu'on aura en général

Au moyen de cette formule y l'équation ( J^) devient Soit maintenant m = 2, Xniss^. on aura donc

Le premier membre n'est autre chose que la transcendante désignée ci-dessns parf- jj ainû on aura cette équation remarquable

D'où l'on voit que la transcendante f-J serait connue , si on connaissait,

pour la même valeur den^ les fonctions de la former T-Y a étant entier.

48. Il résulte d'abord de cette valeur de T-Y qu'on peut échanger entre

eux les nombres ;? et ^ , et qu'ainsi on a T-J = f^\ ce qui est une des principales propriétés de ces fonctions.

De plus y on tire de cette formule

/p\ /p±ji\ Vn/ w w

Dans le second membre, il est visible que deux des nombres Py (ff r^ peuvent être échangés à volonté y ce qui donne le théorème fondamental contenu

dans l'équation (e) ,

dont on a ainsi une nouvelle démonstration très simple. 49* Faisons voir maintenant comment les fonctions F se déterminent au

moyen des fonctions T^ j supposées connues pour une même valeur de n.

Observons d'abord qu'au moyen de l'équation {(t)y on a en général