CHAPITRE TH

r(«4-0=«r(ii), (0

ce qui permettra de réduire les cas où a est plus grand que l'unité à ceux où il est plus petit.

Si l'on a a ss I , alors F (a) se réduit k/dxsssxsz i ; ainsi on a

Cela posé, &isdns qs=in^^p dans l'équation (c), alors la valeur du premier membre est connue, et on a

sin pm n^ {^) '

OU en d'autres termes ,

Via) T(i-a)=..A^. (fl)

Lorsque a = j, on a (r£i)*s=s'7r; donc

L'équation (0), très remarquable dans cette théorie, fait voir qu'il suffit de connaître la valeur de F (x) depuis a: = ; jusqu'à a: = i , et on en déduira les autres valeurs de cette fonction depuis â: c= ^ jusqu'à xz=zo. Au reste, la valeur de F Çx) depuis ^=1 jusqu'à a:s= i , ne varie qu'entre les limites f/^ et i, ou 1,77214^ et i, tandis que depuis »bs; jusqu'à x = o, elle varie depuis 1,77214^ jusqu'à l'infini; et en particulier lorsque

a est infiniment petit , la formule (0) donne F (a) = -.

5o. Si dans l'équation (c) on fait ^ =: i , et qu'on prenne successivement 9^= 1 , 2, 3« • . « jusqu'à /i— I, on aura cette suite d'équations:

4io INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

Maltiplîant les a — - 1 premières équations entre elles , on aura le produit

si on les multiplie toutes, ou qu'on fasse az=zn^ le produit donnera

-(0=»(/GG)-G)-G) (^dl-

Soit donc pour abréger

T = \/G • (0 ■ G) G) (~ij] .

et on aura

Connaissant rT-J, on en déduira Tf-\ par l'cquation déjà trouvée qui donne

Et comme les quantités ("j^Ç-j^ Qj) etc. sont censées connues pour chaque valeur de n^ il ne reste plus rien à désirer pour la détermination des fonctions F ^-\

Ces formules foht voir que toute fonction T Ç-j où - est rationnel , peut

se déternûner en général par la quadrature des courbes algébriques ; mais ce moyen de solution ne s'applique avec succès que dans le petit nombre de

cas où nous avons fait voir que les intégrales (- j relatives à un même nombre n, peuvent s'exprimer par les fonctions elliptiques.

5i. Réciproquement, si on connaissait la valeur de F (x) pour toute valeur rationnelle de Xy moindre que l'unité, il serait facile de déterminer

l'intégrale f-Jj car on a en général