CHAPITRE rX

aux tables serait de calculer log sin 'jrx par la formule

/sin ^a:= /(^a:)*-S.x' — jS^x* — iSeO:® — etc.,

ce qui revient à faire usage de la première des formules ci-dessus ; mais lorsque X est assez grand pour que les tables donnent sans difficulté la valeur de log sin TTX y il y aura un avantage marqué à se servir de la seconde formule.

85. On pourra simplifier encore assez notablement cette formule, en lui donnant la forme suivante :

iogrc.+^)= :-iog^-Mog}±|

+ (i— C)x~(S3-i)f-(S8-.i)f— elc.

Enfin, pour convertir ces logarithmes en logarithmes vulgaires, il faudra multiplier les termes algébriques par le module m; soit donc

m(i-C) = B, fCS,-i)=B„ J(S5-,) = B„etc., et la formule adaptée aux logarithmes vulgaires deviendra

+ Bar — Bjx^ — 'Rt.a^ — BjX^ — etc.

Cette formule pourra servir à calculer log Ta jusqu'à 14 décimales, si l'on a des tables telles que la Trigonometria Britannica^ qui donnent ce nombre

de décimales pour / sin wx; quant aux logarithmes de x et de , il sera

toujours facile de les avoir avec ce degré d'exactitude , ou un plus grand encore, par la table connue qui donne les logarithmes des 11 ou 1200 premiers nombres avec ao décimales, et le supplément que nous y avons ajouté. Table V ci-dessus.

Pour obtenir le nombre de décimales dont il s'agit, il sera bon de calculer le terme Bo: par la simple multiplication , afin d'éviter l'emploi des logarithmes à 14 décimales, pour lesquelles on n'a point de tables complètes, ou auxquelles on ne supplée que par des calculs plus longs que la multiplication. D'ailleurs, si l'on applique la formule à la construction d'une table, la multiplication dont il s'agit peut être entièrement évitée , puisque chaque produit B (x 4~ ^) ^ forme du produit précédent Bo:, auquel on ajoute la constante B«.

Quant aux autres termes Bsx', ^^^ etc«, ils se calculeront par les tables

454 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

ordinaires à lo décimales, au moyen des logarithmes des coefficiens qu'on trouvera ci-après , art. 89.

11 ne faut pas pei-dre de vue qu'on peut toujours supposer x ^-^ ou même or < ^. Dans le cas de a: = ^9 le terme B,sa?'' ne vaut pas trois unités décimales du onzième ordre ; dans le cas de O! = ^ , il n'en vaut pas une du quinzième. Au surplus , quand on est parvenu aux derniers termes de la formule, ces termes forment avec les suivans une progression à très peu prés géométrique; de sorte qu'il est facile de tenir compte des termes qui restent k calculer.

86. La valeur de la constante C a été calculée par Eiiler ( Calcul différentiel , page 1 44) j ^u moyen de la suite harmonique i + ' + 0 • • • + -j dont la somme M (;r) est donnée par la formule

M(*)=C + £x-f-^-^ + ^,-^-Hetc., (25)

A', B', C, etc. , étant la suite des nombres Bernoulliens. Appliquant cette formule au cas de or = 10, on a, par la sommation effective^

M = 2.92896 82539 68255 96825, etc., et par la sommation approchée,

M = C -|- 2.55175 «5890 66721 1076; de la on tire

C = 0.57721 56649 oï532 8606,

valeur qui s'accorde, dans les i5 premières décimales, avec le résultat donné par Euler.

La valeur de C peut se calculer aussi par l'équation (23) , en faisant soit X = I , soit a: = î^ il en résulte ces deux expressions :

I— C = ;/2H-i(S,— i) +i(S5— 1) +^(S,— 0 +etc., i C=: Il H-;(S3-i)i+i(S5-i)T^+KS,-i)gî,+etc.;

substituant les valeurs des quantités S3, S5, S,, etc., données par la table du n**. 83 , on trouve

par la première expression C = 0.57721 56649 01 532 85, et par la deuxième C = 0.57721 56649 oi552 861,

ce qui s'accorde aussi bien qu'il est possible avec 'la valeur déjà trouvée ^ et on voit que celle-ci est exacte jusque dans la dix-huitième décimale. Il suit de là que les valeurs des transcendantes Sj , S5, S, , etc. , contenues dans la table