CHAPITRE IX. 45i
Puisque r(i+a:) =:xTXy on déduira de la formule (17)
logr(i + a:) = — Ca:+iS.^* — |S5a:» -1-^840:*— etc., (18) et en changeant dans celle-ci le signe de jc, on aura
logr(i— a')=C^ + iS.a:«+jS,a:» + :iS4a:* + etc. (19)
83. Observons maintenant qu'en vertu des deux équations r(i+ar)=j:ra:,
ar
TûC T(i — ;r) = -T , on a
sin 9X
Prenant les logarithmes des deux membres et substituant les valeurs données par les équations (18) et (19)9 on aura
^°8 Cl^) = S.^ + î ^4^ + T Sea:' 4- etc. C'est la formule connue qui, par sa différentielle, sert à déterminer les valeurs
S.=^:t% 84=5^9^*, S« = 5^^Setc.
On peut faire usage de cette formule pour rendre encore plus convergentes les suites contenues dans les équations (i8) et (19) 9 en les mettant
sous cette forme :
\ogT{i+x)=z^\os£L.-.Cx^^S^^iS^'-
Iogr(i-x) = ilog ^^H-0-f-iS,a:^ + iS,aH»
Ainsi on a des séries régulières et toujours convergentes pour calculer la valeur d'une fonction quelconque Ta; elles supposent seulement qu'on connaît les valeurs des transcendantes S«, Sj, S4, etc., qui représentent les sommes des puissances réciproques, de même degré, des nombres naturels. Ces valeurs sont données jusqu'à la seizième puissance et avec seize décimales, dans le Calcul différentiel d'Euler, page 4^6 ; mais l'examen que nous avons fait de cette Table , nous y a fait découvrir quelques erreurs assez graves, et nous avons été obligé de la calculer de nouveau ; nous avons cru devoir en même temps la prolonger jusqu'à la 55* puissance , terme passé lequel chaque fraction qui suit l'unité devient la moitié de la précédente. Ycnci cette nouvelle table corrigée.
INTÉGRALES EULÉRIENNES ,
lO
.aoao5 .o8a5a •oSôga
.01734 .00854 .00407 . ooaoo .00099 . 00049 .oooa4 •oooia . 00006 . oooo5 .00001 . 00000 . 00000
ia48i
48aa64 595943 iii38a 433700
ai
03584 0119a 00696 ooa98 00149
ia7i66 6ao559 3a9868 5o5oa7 i99a6o 081891 o35o55 015548 507118 a5534o 636597
5i3a74 6566a9 5a83ia i64i55 58ao77 291038
SBh
84. Au moyen de cette table on aura, pour calculer log T (i ou l'autre des formules :
/r(i+a:)=— Car + ^S.a:* — ^S3x3 + 1840:* — etc.,
lT(i+a:) = i l(^y-Cx^i S^ - j S5.r* - etc.
a:)y Tune
Lorsqu'il s'agit de calculer log Ta pour une valeur donnée de 11 , on peut toujours réduire la question au cas où l'on a a = i -j- or, or étant < f , ou même < j. Les suites précédentes seront donc convergentes, et auront l'avaatagc de Têtre dans toute leur étendue; de sorte que le degré d'approximation auquel on peut parvenir par ces suites, n'est limité que par celui qui a lieu dans les valeurs des transcendantes S^, S3, S4, etc.
La seconde formule est préférable à la première , comme contenant une suite plus convei^ente. Cependant lorsque a: sera très petit, il vaudra mieux feire usage de la première , parce que la valeur de log sin ttx , donnée par les tables, pourrait n'être pas suffîsaimiient exacte. Or le moyen de suppléer
