Représentons par (a, /i)"* la somme de la suite infinie

si l'on fait a^nXy cette suite devient

Ainsi en faisant a:= -, l'expression générale de ]a transcendante (a y /»)" sera

(«, ») = ;iS.4-(^) — ,.a.3...m-r • ïï= • ^P^- On peut encore remarquer qu'en faisant

on aura en général Ç,(a:) + %}/.(i + j:) = const. = S.; donc

C'est simplifier la théorie de ces diverses transcendantes, cpie de faire voir qu'elles dépendent d'une même fonction rr(i +ar) et de sescoefficiens différentiels successifs.

93. Considérons maintenant d'une manière particulière l'équation

que nous mettrons sous la forme

La •

44o INTÉGRALES ELLÉRIENNES,

àdlrx i 1 , I , L-.J-etr f^i-)

Cette formule est le principe d'où nous allons déduire de nouveaux théorèmes, qui serviront à perfectionner et même à compléter entièrement la théorie des fonctions F.

Soit pour abréger, f{x) la fonction qui forme le second membre de l'équation (27); si l'on met ao? à la place de or, on aura

dans la suite renfermée en parenthèses, les termes de rang impair ont pour somme fÇx), et les termes de rang pair ont pour somme f{^ -f- or). Ainsi on a

or l'équation (la) donne f{x) = ^î, /(i+ x) = ^£.'*"\/(3a:)=

— 7Xr"^> substituant ces valeurs, il vient

ddlr (aur) ddlrx cM/rQ-t-j)^

multipliant par dx et int^rant, on a

flttr(2j) d/rx , cf/r(| + x) ~û5 "^ d[r **" dx ■*"*•

Multipliant encore par dx et intégrant , il vient

logT(2x) = log Tjc 4- log r(i + o:) + «or + ^,

ou, en passant des logarithmes aux nombres ,

TxT (^ + a:) = A^** F (2^^-).

H reste à déterminer les deux constantes A, 01, introduites par l'intégration. Pour cela, soit x infiniment petit, on aura rx:=:-et T(2x)=: — ;doDc

A = 2rî. Soit ensuite a? = 7, on aura Ae""**=r7, donc a» *= 2; donc l'équation générale est

TocT (1 + x) = r (20:) . 2' -^' r^. (28)

Nous retombons ainsi sur l'équation (9) déjà démontrée de deux autres manières; mais la même méthode va nous faire découvrir de nouvelles propriétés.

g4. En appelant toujours f{x) le second membre de l'équation (27) , si