CHAPITRE X. 44i

l'on met 5x à la place de x, on aura

La suite contenue dans le second membre se décompose en trois autres ,

savoir j

donc on a

Remettant au lieu de f{x) sa valeur , , , et semblablement pour les autres termes, il vient

Intégrant cette équation deux fois consécutives, on obtient pour résultat

TxT (i +ar) r(f +x) = T{5x).Ae-^.

Pour déterminer les deux constantes A et et y soit, i^. x infiniment petit ,

3ir

on aura A = 3r jFf = -r — p- = asr v/3; soit, 3*. xsj, on aura..v Ae"3* =rjr| = 3 A, et par conséquent e*= 5^. Donc on a l'équation

r^r a + a:) r(H- x) = iiTT . 5'-^* r(3:r) : (39)

c'est la quatrième propriété générale des fonctions F.

95. Si l'on considère semblablement la fonction y*(5ar) , et qu'on décompose la suite qu'elle représente en cinq autres, provenant des termes comptés de cinq en cinq, à commencer par le i^% le 2^, le 3% le 4^ et le 5% on obtiendra l'équation

/(5a:)=-^[/x+/(i+a:)H-/(|+*)+/(H-x)+yrf+*)], ce qui donne l'équation différentielle

. ddtrQ+x), ddlrd+x-)

443 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

dont l'intégrale est

rxr(i+a:)r(f+x)r(|+«)r(H-x)=r(5*).

Pour déterminer les constantes A et «e, on fera successivement x infiniment petit et or = y, ce qui donnera

A = 5rf rf r|r|, Ar^=rir| r I rf = i A}

donc e* = 5* : ensuite on a par l'équation (3) ,

ce qui donne A = = l^^^. Donc enfin la fonction F satisfait

sm^sm-T-

encore à l'équation.

rxr(f+a:) r(* +x)r(H-x)r(f4-jc)=r(5a:).(27r)*.5*"^': (5o)

c'est la cinquième propriété générale des fonctions F.

g6. Il est facile de voir qu'on peut généraliser ces résultats et les com * prendre dans une même formule. En elFet , n étant un entier quelconque , la valeur âiêf{nx) pourra se décomposer ainsi ,

il en résulte l'équation dilTérentielle

ddlT (jix) ddJTx \n^ J \ n J

dx dx^ ^ dx^ ** 3j? '

dont Tintégralc iinie est

XxY (f^+^)r (^+^). • . • r(2^~ 4-»)=r(/u:) . Ke-^.

Pour déterminer les deux constantes A et a , faisons successivement x infiniment petit et x = - , nous aurons ces deux équations

A = »rir-r-.., » » »

Ae~» = ri-r-r-....