CHAPITRE XIII

Z"(it)> Z"(^). . . .Z"(|i), suffiront pour déterminer toutes les autres: ces deux transcendantes se trouveront d'ailleurs par la même méthode qui a été employée à l'égard des fonctions Fa

i55. En efiTet, si l'on désigne , pour abréger, la fonction V T— J par (A-) , l'équation (38) donnera , en faisant — = âi ,

(i) + (il) =-sb = 4'»-(a+ 1/5),

on aura ensuite^ par l'équation (Sg), les deux conditions

et par l'équation (4o), cette autre condition,

Ces neuf équations permettront de déterminer toutes les transcendantes dont il s'agit, par le moyen de deux d'entre elles. Par exemple, si l'on prend pour données Z"(-^) et Z''(^), que nous désignons par (i) et (2), les autres transcendantes se détermineront ainsi :

(4) = i(a) H- il**,

(7) = 4(2) -Ci),

(8) •(2)+ij^^,

(9) = f(a)-i(0-l-'^(i-t-f 1/5), (io) = — (a)-H4^, (ii) = — (i)-|-4w*(a+/5).

Il ne reste, pour la détermination absolue de ces quantités, qu'à connaître Z"(t;) et Z"(yî). Pour cela, il faudrait pouvoir sommer les suites que ces quantités représentent, savoir :

473 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

^"(tÙ = '44 (i + tJt + 5k + 4^ +«**^>» Z"(^) = 56(. H-L +^+^ +etc.).

On pourrait aussi déterminer ces quantités par les intégrales définies

fdxl-

Mais la difficulté d'exprimer ces intégrales autrement que par les séries précédentes, rend ces expressions peu utiles.

Lorsqu'on voudra obtenir ces valeurs par approximation, on y parviendra aisément par la formule de Part. S'j.

f34. Considérans maintenant le troisième coefficient ^'^ {^) ^^ ^'^j^ i ^^ aura d'abord , par l'équation (C),

r'^çd) — z"^(i — a) = - ^!t^-^, (40

ce qui détermine la fonction Z^(i — n) par son complément 2J"(a). On a ensuite , par les équations (D) , (E) , etc. y

et ainsi de suite-, ce qui établit les mêmes réductions entre les fonctions Z/"(a) qu'on a obtenues entre les fonctions Z"(d).

Le cas de a= i donne, par les formules de l'art. iS^, Z'"(i) = — -383; si dans la première des deux équations précédentes on fait assi^yon aura Z'"(-j) = 7Z'"(i) =— 1483; enfin, dans le cas de a = 3 , on aura les deux équations

ce qui détermine les deux transcendantes Z'"(g) et Z"'(|), par le moyen de Z,"'(i) ou de S,.

Toutes ces solutions reviennent à celles qoe &ous ayons d^à données