CHAPITRE Xni

Mais n «tant infiniment grand , on a j:" ^ i — - log - , donc

c'est la valeur de l'intëgrale V , telle qu'elle a été donnée par Euler {Nova Acta Petrop. , tome IV).

Si on la substitue dans la valeur de T , ou aura

— \ := log m *— Z a.

i5o. Pour revenir à la fonction— j—, que nous pouvons représenter par

Z\a) , on voit que les équations (C) , (D) , (E) ,' etc. , ne font connaître aucune propriété particulière de cette fonction , et qu'elles conduisent seulement à des formules relatives aux intégrales définies. Il ne reste par conséquent à considérer d'autre propriété de cette fonction, que celle qui est contenue dans l'équation (Ss), et qui consiste en ce que, toutes les fois que a sera rationnel , la fonction 2!{a) pourra toujours s'exprimer par la constante *— C jointe à une quantité qu'on peut toujours évaluer par arcs de cercle et par logarithmes.

Nous avons traité fort au long des réductions qui peuvent avoir lieu entre les fonctions log Ta ou Z(a), lorsqu'on donne à la racine a les valeurs succès-

sives -, - • - . • . — ^-. Un semblable problème n'a point lieu relativement

auiL fonctions Z'(â), puisqu'elles sont toutes déterminables, ainsi qu'on vient

de le dire. Passons donc aux coefficiens difierentiels du second ordre —rr- 1

que nous désignerons semblablement par Z''(^).

i5i. L'équation (Ss) étant différenciée par rapport k p, donne, en mettant a au lieu àep^

ddtra

^7n C'^-'dxl^

aCTa ^^^ i X

Développant la différentielle du second membre en série, et intégrant les diffArens termes d'après la formule de l'art. 3i , on aura

ddlra ' I

«•"^fa-f-iV"**

etc.

da* (^ ^ {a+iy ' (a + a)*

T. II. 78

47Ô n^TÉGRALES EULÉRIENNES ,

Cette formule et celle qu'on pourrait en déduire par la difiërentiation , sont les mêmes qui ont été données dans l'art. 1 5 ; et comme on ne con-

naît aucun autre moyen d'obtenir Finlégrale / — ^I — > ^^ "® résultera

de l'équation (3a) aucune propriété des fonctions 71' (a). i3a. L'équation (55) étant (UfiPérenciée , donne

d'où Ton voit que la fonction Z''(i —a) se détermine par la fonction Z*'(a)y qui en est le complément.

Lorsque a^s\ ^ la formule précédente donne Z"( î ) = | 7r*. Lorsque a=s i, on a Z\i) = ^ ^; en effet, la valeur générale de Z"(a) étant

Z» =» A 4- f—r—xi + f 1 X» + etc.,

cette quantité, dans le cas dont il s'agit, se réduit k S. ou -g. C'est ausâ

ce qu'on déduirait des formules

Z'(i -f-tf) = — C + S.a — Sjo» + 840» — etc. , Z"(i-hii) = S.— aSja 4. SS^a* — etc., '

en fisnsant a = o.

Pour avoir d'autres propriétés de la fonction Z''(ii), on prendra la différentielle seconde logarithmique de l'équation (D), ce qui donnera

Z"(a) + Z"(l + a) - 4Z"(a«) == o ; (Sg)

de même la différentielle seconde des équations (E) et (F) donnerait

ôe sont les mêmes équations qui ont servi à démontrer les équations (D)^ (E), (E^, etc.

Il résulte de ces équations , qu'on peut faire sur les fonctions Z'^ les mêmes réductions qui ont lieu pour les fonctions F, c'est-à-dire que si l'on

considère les fonctions successives Z" C-j , Z'Y- J. • . . Z^T^^^-J, ces fonctions se détermineront par le moyen d'un certain nombre d'entre eltes , et ce nombre sera en général le même que celui des nombres premiers à n et plus petits que jin. Ainsi^ dans le casde ns= i3; deux des transcendantes