CHAPITRE XIV

Divers exemples d'interpolation.

i55. JtiULEK, dans le chapitre XVll de son Calcul différentiel, a résolu divers problèmes d'interpolation par des suites infinies dont il ne donne la somme que pour le cas de t» = 7. Nous allons faire voir que ces interpolations peuvent être effectuées d'une manière plus simple et plus générale au moyen des fonctions F.

Exemple I. Supposons qu'il s'agisse d'interpoler la suite dont le /i^"** terme

est N = I + 7 + î •••• + - ; la question est de savoir ce que deviendra N ,

lorsqu'on donnera à n une valeur fractionnaire quelconque.

Nous avons désigné (art. laS) ce terme général par ^ (/ï), et nous avon& fait voir que ^ {n) est donné par la formule

cette intégrale étant prise depuis ^ = o jusqu'à ^ = 1 . On pourra donc dé* terminer ^ {n) par les arcs de cercle et les logarithmes, toutes les fois que n sera un nombre rationnel. Dans les autres cas ^ on déterminera ^ (/i) par la suite

OÙ A', B', C, etc., désignent les nombres Bernoulliens. On pourra toujours faire en sorte que cette suite convei^e rapidement dans les premiers termes^

car on a ^ (/i) = ^ (n 4- i) x"* -Ainsi (p {n) peut être déterminé par