CHAPITRE XVI. 48î

« f = «TA + ^^^- /*A + ^!l~^-^ J^A

2,3,4 «. ^ = JN-A + (X - i) e^3A + ^'■^3^^^^+ii /4A + etc.,

^^ g =cf3A + (a: ^ I) /^A + etc.,

On connaîtra donc les coefficiens différentiels dont il s'agit , par les différences cTA, cT'A, J^'A que la table donne immédiatement.

i55. Dans le cas de rsz t , on a a=:^i-f-*^, et. ies formules deviennent

« ^ = J'A + I cT-A - ^ J^»A + iVcT^A + etc., «'^ = J^^A-iVcT^A + etc.,

û>«'^ = J^'A — 1 J^^A + etc.

Celles-ci offrent des formules un peu plus convergentes que celles de l'article 691 , de sorte qu'il y a quelqu'avantage à déterminer les coefficiens différentiels de la fonction l(^r(a-f-A>) p^r le moyen desL différences qui répondent à la fonction précédante Logra.

i56. Appliquons les formules précédentes à la fonction X£=logr(i+5)j alors on fera a= 1.355, j:=j, et les différences données immédiatement dans la tahle seront

/A = — 57 263 2&J, cT-A = 475 486, iT'A = — 483, d^où résultent les valeurs suivantes des coefficiens différentiels,

•^jr = — 0.403.

Pour vérifier te premier d(? ces résultats, on peut avoir recours à la formule (33) qui donne

£ mC + mJ -j-^^.

EHectuant l'intégration indiquée entre les limites a: = o, ar=i, il vient

^ =s B + a« — Vioga? — 77»

488 INTÉGRALES EULÊRIENNES,

et en snbstitoant les valeurs numériques,

^ a= — o.oSj 541 54a 008 65, d'où l'on voit que nos déterminations sont aussi exactes qu'an peut le désirer. iSy. Lorsque a est un nombre rationnel —, on a vn dans l'art. laa que

l'intégrale Z= r^'""[^ — , prise depuié x=so jusqu'à âr= i , est exprimée par - *-- nB», B. étant une quantité dont la valeur est donnée par arcf de cercle et par logarithmes (ibid.). Mais û l'on suppose, par exenq>]e,

a = , la valeur de B. dont il s'agit sera tellement compliquée, qp^ deviendra k peu près impossible d'en tirer la valeur numérique de l'int^rak Z, et la difficulté serait encore plus grande si a était une fraction plus composée.

Dans ce cas, l'intégrale dont il s'agit pourra se trouver d'une manière beaucoup plusfadle par la formule de l'article laa, qui donne

or pour la valeur a= i • 565 , on trouve le coefficient diflfêrentiel

Ainsi on aura l'intégrale cherchée 7 = 0.671 009 968, laquelle doit être exacte au moins jusqu'à la huitième décimale.

Nous sommes entrés dans d'assez grands détails sur ces diverses méthodes d'interpolation, parce qu'elles sont peu connues, et qu'elles peuvent s'appliquer à toutes les tables dans lesquelles il est nécessaire d'avoir égard aux différences du troisième ordre.

En terminant ici le Traité relatif aux deux sortes d'Intégrales définies que nous avons désignées sous le nom d^ Intégrales Eulériennes ^ nous croyons devoir faire observer que les divers perfectionnemens qu'a reçus la théorie de ces intégrales, depuis qu'elle est sortie des mains de son illustre auteur, sont le firuit des recherches que nous avons publiées successivement dans plusieurs écrits, savoir : i"*. dans le Mémoire sur les Transcendantes elliptiques (Paris 1 795) ; a*, dans les Mémoires de la classe des Sciences Physique^ et Mathématiques de l'Institut pour l'année 1809; 5*. enfin, dans les parties II et ly des Exercices de GJculint^ral. D'autres géomètres ont publié le résultat de quelques travaux particuliers sur la même matière ; mais ils n'ont &it . que reproduire sous une autre forme les résultats trouvés long-temps auparavant par Euler.

TABLE

DES LOGÂBITHMES DE LA FONCTION Fa,

Calculés à douze décimales, pour toutes les valeurs de la radue a y de millième en millième, depuis I .ooo jusqu'à 2.000.

On y a joint leurs différences première, seconde et troisième.

IKTKGHALES ELLÉRIENIMES,

Log. ra.

DiQ'. 1.

Log. ro.

Dis: I.

o.gD2 707 25o .^oa 9.S2 é^L 546 Qa5 q.062 548 392 Soi

q.qôa 3oi 728 5o4

23 6o5 gaS 23 n58 06.,

Siésgo

,-2So ,-25,

,rïss

9.957 321 o83 716 q.g57 222 56i box 99f7 iM 559 3o5 9 957 "?7 "75 6S0 g o56 g3o .10 205 9.956 633 662 578

g.gtn 179 217 bb-j i.gâa oén 353 401 9.961 g35 835 098 9.961 814 glV.( 121 9.961 69^ 633 839

iiîtî 541439

si» ,8j 5|i 56é

53i"^ 538 468 537 852 537 240 536 637 536 0,5 535 4o5 534796 534 ,go 533 583 533 97« 533 376 53i 772 53. ,73 53o 57, '"9 974

524 646 53,| Ȏo 523 475 522 893

94 8qS«.

94 3Sa6o,