CHAPITRE XVr

di£féreDces successives cTA^ J^*A, ^'A, etc. On a â) = o.ooi quand on prend dans la Table les termes qui se suivent immédiatement; mais on poun*ait également faire âi=o.oo2 , o«oo5, ou plus, afin de rendre sensible la différence quatrième cT^A qui est presque toujours au-dessous d'une unité décimale du douzième ordre, lorsqu'on prend o) =30.001.

En se bornant à l'hypothèse û) = o.ooi qui est la plus simple, puisque la Table donne, sur une même ligne, les nombres A , cTA, ^*A, cT'A , on

voit que la valeur qui en résultera pour le cofficient ^ , ne sera approchée que jusqu'à la neuvième décimale à peu près; celle de -^ ne le sera

que jusqu'à la sixième, et celle de -r^ jusqu'à la troisième. Mais c'est déjà

un grand avantage d'avoir les deux premières transcendantes d'une manière si facile et avec un pareil degré d'approximation.

i52. Soît, par exemple, a-^x «Soo; les différences données immédiatement dans la table pour cette valeur de a, sont

«rA= 16 o5o 3^4, cT^A = 4o5 620, «T'A = — 559;

on en tire les coefficiens différentiels

^ =o.oi5 847 594, -^r = o.4o5 979, j^=— 0.359.

Si, au lieu de faire û) = o.ooi , on fait a)=o.ooa; c'est-à-dire, si on prend dans la Table les fonctions A qui répondent aux racines successives i .Soc,) 1 . 5o2 , 1 . 5o4 , i • 5o6 , 1 . 5o8, on aura les valeurs de cT A , «T^A , J^'A , «T^A, comme il suit ,

cTA = 33 5o6 268, cT^A = i 621 044, cr»A = — 2865, cr^A=io. De là résultent les coefficiens différentiels,

^ = o.oi5 847 394 25o, -^ = 2.405 9795, ^ = — 0.5600.

Ces valeurs diffèrent très peu de celles qu'on a obtenues immédiatement par les différences des termes consécutifs.

Soit encore ^ = o.oo5, on aura à considérer les différences successives des termes de la Table qui répondent aux racines i.5oo, i.5o5, i.5io , 1 .515 , 1 .520 ; ces différences sont

crA=84 3o4 252, cT^Arsio 104 716, cf»A=— 44 425, J^A = 574, et on en déduit les coefficiens différentiels

i^ INTÉGRALES E»LÉiaDWES ,

Ces valeum diffèrent peu des précédentes et •equbrenl deveir 4tre pli» approchées de la vérité, parce qu'on a. tenu oompie des diflG§renoe& qualnèoM devenues sensibles par une plus grande valeur de a»; cependant fai valeur dt ùà ne doit pas passer une certaine liante , et. cetle liiaile qu'il aenût ififlkik de déterminer a^'ec précision^ dé^nd de la 1(h que suivent le&cbffikeM» successives de la fonction A.

i53. Dans If exemple pcécédent^ il est f^KÔJe de vérifier la valevr obte^

nue pour ^ ;. car en faisant n :;;= s* dans la formule (35), art. 1 2:1 , et observant que les logarithmes de la formule doivent être multipliés par le «o^ dule m =s rj pour les changer en logaaithmes vulgaires , on aura

L'intégrale du second membre, prise depuis jr=;=o jusqu'à ^== i , est égale à 2 — -2M l^\ donc

Mais on a fiiit ci-dessus B=/7i(i— C) ; ainsi on aura ^ = /w + B •— a /2 ; ce qui donne, en substituant les valeurs cfmnues ^

^ =o.oi5 847 394 345 69,

valeur qui dcât être exacte jusqu'à la quatorzième décimale : elle prouve que les résultats obtenus par hi méthode précédente , sont moins exacts dans l'hypothèse â»=o.oo5 que dans l'hypothèse â;r= 0.002.

154. Les formules précédentes donnent les coeUîciens diiférentiels de la fonction A = logra, en supposant que a se trouve iniinédiatemeut dans la table; mais s'il faut trouver les coelBciens différentiels de la fonction X s: tog r(«+ (ax)^ qui est intermédiaire entre les deux fonctions consécutives données par la table A = log Ta , A + cT A = log T{a -|- ») , voici comment on résoudra ce problème d'interpolation :

On a généralement

X = A + xJ^A + i^-i cT'A -f. i:^-:ii^^ J^'A H- etc. , el 81 l'on fait a-f-«wj=sa, oii aura , en supposant que x seul varie , ^a = tw^/x, d'où «-^ = — . Différenciant donc la valeur de X par rapport à j:, et réitérant les differentiations , on aura