CHAPITRE XVIL

Sur les Intégrales Eulériennes indéfinies de la seconde espèce.

i58. J^ ous n*avons considéré jusqu'ici que Fintégrale définie y2/ar(^/ -Y*" * ,

terminée à la valeur x= i , et nous l'avons désignée par Va) nous allons maintenant nous occuper de l'int^rale indéfinie qui se présente dans un assez grand nombre de recherches, et qui ofBre des difficultés particulières lorsqu'on veut la déterminer avec un certain degré de précision pour de très petites valeurs de x. Nous prendront de là occasion de résoudre , tant par des formules que par des Tables suffisamment étendues, le cas deasso et

— j / 7 — TT , sur lesquelles plusieurs géomètres se sont exercés. $ I. Formules diverses pour évaluer par approximation V Intégrale indéfinie

ï 59. Nous représenterons par T(a,x) l'intégrale indéûnie fdz Hog -) ,

prise depuis x=o jusqu'à une valeur quelconque de x; et dans cette dénomination F (a, i) sera la même chose que l'intégrale définie déjà désignée par Fa.

Cela posé^ l'intégration par parties donnera la formule

TÇa, x) = «(logi)'~"+(a— i)rCa-i, x), (48)

d'o& il suit que l'intégrale F (n, x) peut toujours se ramener à une intégrale semblable dans laquelle a est compris entre i et 3, ainsi que nous l'avons fait pour l'int^rale définie Ta.

• • Ccftte même formule donnerait la valeur exacte de T[ay x)y A a était un T. II. 8a

5oa INTÉGRALES EULIÈRIENIŒS ,

nombre entier; ainsi on aurait successivement

r(i, «)■■«, r(2, jc) = X log ^ 4- «,

r(5, jf) = a?(log iy4- ajclog j + ar,

r(4, X) = ar(log j)'-f- 5rC5, x), etc.

Nous n'avons donc à noos ocoaper qae des seuls cas où a est an nombre fractionnaire ou irrationnel.

160. Soit log -==a, on aura la transformée r(a, x)^=^f — ^•"•^"■dSB,

d'où résulte en développant l'exponentielle et intégrant,

r(fl, jp) = Ffl — — H r— — - • ^ \r—^ • — r-5 — etc. : Tiq)

cette formule donne la valeur de X{a^ x) par une suite qui peut être divergente dans les premiers termes, et d'autant plus divergente que x est plus petit, mais qui finit toujours par être convergente.

Cette suite est convei^ente dès les premiers ternies , si x n'est pas plus

petit que - ; elle peut néanmoins être employée avec succès pour des valeurs beaucoup plus petites de x^ telles que 0^ = 7%, ou même âr=B^; mais alors il faudra calculer un assez grand nombre de termes de la série. Par exemple, si ^:=:o.i, il faudra calculer douze à treize termes de la série pour avoir la valeur de l'intégrale approchée jusqu'à la cinquième ou la sixième décimale. On trouve de cette manière r(;5, o. i) = o.o56497- A mesure que x devient plus petit, il faudra prolonger plus loin la suite pour obtenir un égal degré d'approximation , de sorte qu'il convient de recourir à un autre moyen pour évaluer l'intégrale avec précision , loi^que X est très petit, tel que 7-^, t^ôj ®tc.

161. Il semble qu'on pourrait calculer l'intégrale F (a, ac), lorsque a: est très petit , au moyen de la formule (48) qui donne par des transformations successives

r(a, a:) = a:[a— ' +(a — i)z— + (a— i) (^i— 2)2— '+etc-] (5o)

Cette série étant continuée suffisamment , ses termes deviendront alternativement positifs et négatifs , de sorte qu'on aura des valeurs alternative* ment plus grandes et plus petites que l'int^rale cherchée. Mais y comme la