CHAPITRE XVTb 5oS

suite, qui est d'abord couvei^ente , devient nécessairement divei^ente après un certain nombre de termes, il &udra s'arrêter au point où la divergence commence, et on n'aura ainsi qu'une approximation bomëe qui pourrait être insuffisante.

Si on appelle P* le terme de rang n dans la formule (5o) et P"-*" le

terme suivant, on aura P""*"* = P»; ainsi la divergence commence

lorsqu'on aura n=s ou > a -j- ^^ ^t alors la suite ne devra pas être prolongée plus loin.

16:2. Soit, par exemple, ass-,x= — , on aura zc=log ioos:4 .60517,

et a -{- z =: 5 • I . Ainsi la suite ne devra pas être prolongée au-delà des 5 ou 6 premiers termes. En effet, on a en fiiisant zs? log 100,

rf-, — ) = — (z • z 'H z • — z • + etc.),

et par le calcul de termes successifs, on trouve

I 3 5 -I * z • = — • o.oo8q46

+ 7TTi''^ = + 0.006799

On voit qu'il est inutile d'aller plus loin que le sixième terme ^ puisque la suite devient divergente à compter de ce terme.

Il résulte de ce calcul que la somme cherchée est plus grande que o i 4a3o85 , et plus petite que o . 4397a9* Rr un mHieu , dtrtrdiiTe h somme

5o4 irrrÉGRALES EULÉRIENNES,

de la sotteaB0.43^<>79 ^^ ^" ^^^ <]a'oD ne peut, compter sur plus :. de quatre décimales exactes dans cette évaluatiou ; il en résulte pour la Taleor de l'intégrale cherchée , T(a^ oc) es o • 004364*

i63. Si en prenant toujours a = -, on eût frit x=: ^ on aurait vu

d'abord que la suite ne doit être prolongée que. jusqu'au neuvième terme, et par le calcul effectif des termes, on aurait trouvé que l'intégrale cherdiée

est comprise entre âPXo .557708 et JcXo .557 175. Le milieue8tâPXo.S5744f d'où résulte l'intégrale T(a , x) = o • oooS5744-

Eh général la formule (3) donnera d'autant plus de préciM>n ^ que je sera plus petit; mais cette précision ne s'obtiendra que par le oalcol d'un^ plus grand nombre de termes, puisque pour tirer de la suite toute l'approximation qu'elle peut offrir, il faut la prolonger jusqu'à ce que le nombre de ses

termes soittf + a ou a + log-.

Si on appliquait la formule (5) au cas de « = -* déjà résolu par la formule (3) , on trouverait que la suite cesse d'être convergente au quatrième terme. Les deux premiers termes donnent F^ x X o «SiSg, et les trois premiers donnent F^xxo.ôogi; il en résulte par un milieu, r= XX O.56a5 = o.o56a5, tandis que la vraie valeur est 0.056497. ^^ ^^^^ vient donc de préférer la formule (a) lorsqu'on voudra avoir au moins quatre chi£B:es ngnificatifr exacts , et que la valeur de x ne sera pas plus petite que o.oi. Nous verrons ci-après quels sont les moyens d'obtenir une approxi* mation plus grande ou même indéfinie.

164* Jusqu'ici nous avons supposé tacitement que x ne surpasse pas l'unité; mais on peut aussi demander l'intégrale y2irr/-j pour une valeur

de X plus grande que l'unité. La partie comprise depuis x=o jusqu'à xs i, est connue et représentée par T{a); ainsi tout se réduit à trouver l'int^rale depuis x= I jusqu'à Une valeur quelconque de ar>» i.

Remarquons d'abord que dans tout cet intervalle , l Q-j étant négatif, il

faudra mettre l'intégrale sous la ferme ( — i)^yZir(ir)*""'. Je fais abstraction du facteur (— - lY^^ qui peut être réel ou imaginaire, suivant les diverses valeurs de a , et je considère simplement Tintégrale/Zir Çlxy^^ quç je désigne par '4^(A) x), et qui est supposée nulle lorsque x = i •

Si on Gût tesstt, on aura xsse",^ et l'intégrale dont il s'agit deviendn^

. CHAPITRE XVII. 5o5

fW'^du.e^ ^=ifu*^^du{i +ttH-~ii'4-etc.);d'où Ton tire

T\ > / a ■ fl + i 2 a+2 2.3 a + 3 ' \ /

formule ^ù il n'y a pas de constante à ajouter, parce qu'elle s'évanouit lorsque x=i.

La suite comprise dans cette intégrale pourra être divergente dans ' les premiers termes; mais elle finira toujours par être convergente. Ainsi on en tirera dans tous les cas une valeur aussi approchée qu'on voudra de la vraie intégrale, et il est visible que cette valeur deviendra infinie si on fait j: = 00.

i65.' On peut encore mettre 4(^9 ^) ^^^ ^^^ forme plus commode. SoU

-r ; soit ensuite P = —

+ Bii*"*"' + etc., on trouvera A = — . . ., B= , .\, . x, etc. ; donc

série qui aura, comme la précédente, la pi*opriété de devenir toujours convergente, mais qui aura de plus l'avantage de donner des valeurs alternativement plus grandes et plus petites que Fintégrale cherchée; de sorte que le degré d'approiimation sera connu dans chaque cas par la différence de deux termes consécutifs.

$ IL De P Intégrale Z = f — ■ , prise d compter denzszo.

fuT'^du . e" =: Pe", on aura u*^' = P 4- ^r- ; soit ensuite P = — -|- Aii*^l

i66« Cette formule résulte de la formule générale en faisant a = o 5 soit alors /i = » ou X'c:^^^^ on aura la transformée Z=sy—^-^, —, qu'il

faudra prendre depuis 2 = Qo jusqu'à z^^l-y substituant au lieu de e^ sa valeur développée et intégrant , on aura

Z=-C-&H-»-i.|î + i|3.^— etc. (55)

La condition^ pour déterminer la constante G, est que Z s'évanouisse lorsque s =: 00 ; mais les quantités infinies que cette supposition introduit ne permettent d'en tirer aucmi résultat et il faut recourir à d'autres moyens.

5o6 INTÉGRALES EULÉRISNNES,