A,. — A4. + A6,— etc
elle est donc aussi de l'ordre c^* ; et on peut considérer ces deux corrections comme sensiblement égales et de signes contraires.
65. Lorsqu'après avoir calculé les quantités M et N pour un nombre de termes n, on les calcule de nouveau pour un nombre de termes 2/2, si on désigne ces dernières valeurs par M' et N' , il est aisé de voir qu'on aura M' = î(M+]S). D'ailleurs il suffit de mettre a/» à. la place de /», dans l'expression des corrections précédentes pour avoir celles qui doivent être appliquées aux intégrales approchées - M' , - N^ Ainsi la correction qui est de
l'ordre c** pour les résultats - M, | N, sera de l'ordre c*" pour les résultats
- M' , - N' i c'est-à-dire que le nombre de chiffres significatifs que les valeurs
approchées ont 4e communs avec la valeur exacte - A,, devient à peu prés
double, quand on double le nombre des termes compris dans les séries
MetN.
66. Pour donner un exemple de ces formules, nous les appliquerons au calcul des fonctions complètes E'c, F'c, en supposant le module c=o, 6, ce qui donne & = o • 8.
Il faudra d'abord chercher par les méthodes propres aux fonctions elliptiques, les valeurs de ces fonctions, afin de les comparer à celles que donnera le calcul des quantités M et N pour diverses valeqrs du nombre des termes
58» AP|pDlCE,
n. Or le module ëfant c = o, 6, on trouvera d'abord Fëchelle des module» et le coefficient K exprimés logarithmiquement comme il suit :
c«... 9.77815 i25o3 836o4 ' *•... g.goSoS 99869 9^944
cT^ . 8.16241 74827 58i88 R.... 0.04710 5aoi5 47598.
\a valeur de K donne F*c =: - K ; ainsi la fonction F'c est égale au quart de
la circonférence dont le rayon K.=s i • 1 1456 44^74 839014. On déduira de ces mêmes élémens et des formules connues
Ic^E'csso. 15170 17715 26836;
ainsi faisant E'css ~ I, c'est-à-dire supposant que la circonférence de l'ellipse est égale à celle du cercle dont le rayon est 1, on aura
logl = 9.95558 18944 96683, I = 0.90277 99277 72195.
Ces calculs ont été &its avec les précautions nécessaires pour que les valeurs de I et de K. fussent exactes jusqu'à la quatorsième décimale au moins. Voyons maintenant ce qui résultera du calcul des séries M et N, lorsqu'on suppose kas^\y pour avoir la valeur de E*c, et A: =a— • 7 pour avcnr la valeur de F'c.
67. L'ordonnée appelée précédemment F ou F(x) est v/(i — c^sîn'jc) ou
A(x) dans le premier cas et ^t-t dans le second \ ainsi nous avons d'abord
à calculer les valeurs de Ax qui répondent aux valeurs successives x:^^y
— , — ... . Ces ordonnées et la demi -somm^ des extrêmes
^(Ao4- A^) ou ^(i -f-i), sont les n termes dont la somme divisée par/» sera la valeur de M pour l'intégrale fàdx == E'c ; leurs inverses r- et la
demi-somme des extrêmes ifi "h t) ^^^^ pareillement les n termes dont la somme divisée par n sera la valeur de M pour l'intégrale 1 — zss F'c.
Enfin les valeursxs^, 21 > 7^* •• ^xl serviront à former les va-
leurs de Ax et —, dont la somme divisée par n sera la valeur de N pour les
inlégrales/Afitr et y-—.
Voici un tableau qui contient les valeurs de ces quantités pour le cas de
Log Ajir.
Ax.
55287 59279 oo538 82027
On peut remarquer que les valeurs logarithmiques de A contenues dans ce tableau peuvent se vérifier assez facilement par le théorème de Cotes. En effet,
puisqu'on a A=\/(i — c*sin* jc) = \/\^ — -" + — cos nxj , cette quan»
titc peut se mettre sous la forme B\/(â*-f-2acos2X-(~ 1)9 ^^ faisant B=s
5^(1 +i) et a — , I. Si ensuite on donne à ^x les valeurs successives g, -tt ,
-g- , ^ f le produit des quatre valeurs de A sera B^ v^(i +^^)9 1& somme de leurs logarithmes sera donc 4 ^^g ^ 4~ ^og (i 4- ^')> ou 4 log B •>{- — û*(i — îû*+ja**— etc.). Dans le cas de notre tableau où Ton a b^szo.h,
mm
Bso.g; la quantité précédente se réduit a 9*81697 004^8 0175439 ce qui est en effet la somme des quatre Ic^arithmes qui répondent aux valeurs supposées de a:. , .
68. Avant de faire n = 49 valeur pour laquelle le tableau est calculé, faisons 11=2, valeur trop petite pour donner un résultat suffisamment appro* ché, mais qui fera v6ir le progrès de Fapproximetion en passant de cette première valeur aune valeur double. Alors les <}uantités M et N nécessaires pour calculer les valeurs /A^s=^7rM, /Adip=ï'7rN, seront composées
de deux termes seulement, savoir :
Substituant les valeurs numériques données dans le tableau, et la valeur i(i^£)=so.9, on aura
Ces valeurs ne différent que de 2 unités décimales du 5°^ ordre , et le milieu entr'elles donne pour i la Taleur approchée
laquelle n'est en erreur que de 5 unités décimales du itf^ ordre. On a peine à concevoir comment le calcul de deux seuls trapèzes, Fait de deux manières différentes , peut donner un résultat si exact.
Faisons maintenant n=sj^^ et appelons M et N' les nouvelles valeurs de M et JSj nous aurons
La première quantité est la même chose que la moyenne ^(M + N^, dont nous venons de donner la valeur, la seconde se trouvera par les quatre der^ nières lignes du tableau , de sorte- qu'on aura
Ces deux valeurs ne diffèrent que d'une unilé décimale du 9"^ ordre . et le milieu entr'elles donne pour I la valeur plus approchée
laquelle s'accorde parfaitement avec celle qu'on a déduite de la théorie des fonctions elliptiques ; car la différence de ces valeurs n'étant que d'une unité décimale du 15°^ ordre , on ne peut prononcer de quel côté est l'erreur.
69. Par des calculs semblables, appliqués à la fonction complète. •••,.. — , on trouvera d'abord pour le cas de n =s 2, les formules
d'où résulte
îtf = i.ii465 yôSoS 7423375, N == 1.Ï1447 i3649 8855855}
ensuite pour le cas de /t = 4» on aura
M' = 1.11456*44976 8i38565, N' = I . I 1456 4477a 864aa3a5.
Par un milieu pris entre ces deux derniers résultats, on aura la valear approchée
laquelle s'accorde suffisamment avec celle que donne la théorie des fonctions elliptiques, puisque la différence est a peine de 3 unités décimales du iS"** ordre.
Si quelque chose peut étonner dans le résultat de ces calculs, c'est qu'on puisse obtenir une si grande approximation avec «ne valeur de n aussi petite que a= 4> c'est-^-dire en divisant l'espace qu'il faut quarrer en quatre trapèzes seulement , et évaluant ces trapèzes de deux manières différentes.
En calculant , comme nous l'avons fait , les valeurs de M et N pour le cas de /t=:4> o^ trouve que pour l'intégrale yA^^r ces deux valeurs ne diffèrent que d'une unité dans leQ*"* ordre de décimales, ce qui doit faire présumer que la moyenne eutr'elles sera exacte jusqu'à la 17™* décimale, chose que nous n'avons pu véri6er, parce que les calculs du tableau ne sont exacts que jusqu'à la iS"** décimale au plus. L'approximation est un peu moindre pour
l'intégrale /V; car les valeurs de M et N calculées en supposant /»= 4> ^^*"
fièrent entr'elles de deux unités décimales du 8""* ordre, d'où l'on doit conclure que la moyenne ne sera exacte que jusqu'au iS*"* ordre.
70. Au reste, on peut s'en tenir à ne calculer qu'une seule des quantités M et N, sauf à lui appliquer la correction dont nous avons donné la formule art. 64, en la réduisant à son premier terme. Or, ce premier terme rbaA^ se trouvera toujours avec une exactitude suffisante par la formule de l'art. 17.
Pour cela il faut réduire le binôme i — o*sin*a? à la forme
B*(i + «*— aa cos aor), ce qui se fera en prenant B = ^(i + i) , et. . .
•« = — r'~ ij ; on auf^ donc ( i — c*sin*jt)* = f-^-J ( i +«* — aacosa j:)*.
Développant ensuite les deux membres par les formules des art. 1 et 63 , on aura entre les coefficiens d'un même cosinus l'équation générale A,^ =:
r J P(A, — - k). Prenant les logarithmes de chaque membre et mettant
au lieu de log P(X, — A) sa Taleur donnée .par la formule (17), on aura log Ax = Xloga — (*+ i)log X-|-*log A — 1<^ r( — k)
(10) it' + t)m (k^ + t)ma^
Quant au signe du coefficient Ax, il sera le même que celui de la quantité fl^r(— A).
7 1 . Appliquons cette formule à la détermination de la fonction complète E*cz=:fdx^( I — c* sin* x) ; cette quantité étant représentée par - A. , nous avons déjà trouvé pour Ao la valeur approchée.
laquelle résulte de la supposition /isa, et nous avons fieiit voir (art. 64) quie la correction à appliquai* à cette valeur est— - aA» ou — ^ A^* Faisant doncA=:4, i=o,8^ ^=— i, *=r, r(— Ar)=r(— i)=— a|/îr, on trouvera par la formule précédente log A4=4«7^7<o88; et parce que a^T{—i) est négatif, il faudra que A4 soit négatif; on aura donc A^ =s — o • 00000 53347 9 ce qui donne la valeur corrigée
M— aA4=o.9oa77 99263,
valeur qui n'est en erreur que d'une unité décimale du 9* ordre. Cest déjà un assez grand degré d'approximation obtenu en divisant en deux parties égales seulement la base ^ ^de l'espace qu'il &ut quarrer^ et mesurant les deux trapèzes curvilignes cpii en résultent comme s'ils étaient reotilignes. On conçoit dés lors qu'une approximation beaucoup plus grande résultera de la supposition /i = 4 9 laquelle donne
La correction qu'il faut appliquer à cette valeur étant toujours représentée par— 2 A„, on- la calculera par la formule précédente, en faisant A = 8 , et conservant les autres valeurs de i , a , k et T ("-«A:). Il en résultera log As =0.4305944 > d'où A|= — 0.00000 00002 723074, et la valeur corrigée
M — 2Ag=o.90277 99277 721881;
valeur qui ne diffère de la véritable que d'une demi-unité décimale du qna* torzième rang,
72. Si on veut appliquer de semblables corrections aux valeurs de M déji
trouvées pour la fonction complète T*ct=:fdx v^(i— c^sin'or)"'*,!! faudra faire*=o.8, « = — ^, *=— i,r(— A:)=t/9r.
La première valeur de M calculée pour le cas de /t = 2 , est M=i «11465 76504 ; faisant donc A =1312=49 on aura par la formule précédente log A4=5.668o38i ; et puisque a^T['^k) est positif, A4 le sera aussi, et on aura A4 = 0.00004 65627 y ce qui donne la valeur corrigée
laquelle n'est en erreur que de a unités décimales du 8* ordre. La seconde valeur trouvée pour M, savoir :
M = i.ii456 44976 8i38565,
suppose /t=49 ^^^^ ^ ^h ^^ correction ^A^s 0*00000 ooioi 97579, et la valeur corrigée
M — aAl.-=i.ii456 44874 84006,
laquelle n'est en erreur que d'une unité décimale du 1 3* ordre.
73. On voit, par ces exemples, que l'effet de la correction est non-seulement de déterminer le nombre de décimales exactes qui se trouvent dans la valeur de M ou dans celle de N , mais encore d'en ajouter cinq otr six de plus, ce qui donnera un résultat aussi exact qu'on voudra , en prenant une valeur convenable de n. Quand on calcule à la fois les deux quantités M! et N, le milieu pris entre elles approche plus du vrai résultat que l'une des deux augmentée ou diminuée de la correction, mais cet avantage ne s'obtient que par un calcul plus long.
74* On trouve dans les (Buvres de Jean Bemoulli (*) un théorème pour calculer par approximation le rayon du cercle égal en circonférence à une ellipse donnée. Ce théorème fort remarquable conduit aux mêmes valeurs de M et N que donnent les précédentes formules, en prenant pour nun terme de la progression 2, 4)8, 16, etc., ce qui permet de déterminer géométriquement toutes les quantités v^(i •— c* sin^o:) dont se composent les valeurs de M et N.
Jean Bemoulli n'a point donné la démonstration de son théorème ; il a indiqué seulement la construction géométrique qui en est la base et par laquelle on peut obtenir la valeur très approchée de la circonférence de
(^) Joh. Bemoulli Opéra. Tom. i, pag. 447*
588 APPEPîDlCE,
toute courbe ovale, partagée comme Tellipse, en quatre parties ^aleset semblables par deux axes rectangulaires. Cette construction s'exécute aa moyen d'un mouvement continu que l'auteur appeUe motus reptorius , et dont il détaille les propriétés.
Nous avions pensé d'abord à donner ici l'analyse du théorème de Jeaa Bemoulli, considéré dans sa plus grande généralité 3 mais nous avons bientôt reconnu que cette analyse deviendrait inutile , parce que le résultat aaquel elle conduit n'est qu'un cas particulier d'une proposition générale qui sera démontrée ci-après d'une manière beaucoup plus simple.
$ III. Moyen ^exprimer toute intégrale proposée par un arc de courbe,
fi^%' 75. Soit s la longueur de l'arc de courbe AM dont l'origine est fixée au point A et dont l'extrémité M est déterminée par les coordonnées CP=x,
PM=j^. Cet arc, dont l'expression ordinaire*est fdx^( i + ^ j, peut
être exprimé par une autre formule qui jouit de quelques avantages particuliers et que nous allons fisiire connaître.
Si du point C, centre des coordonnées, on mène CZ perpendiculaire sur la tangente au point M, et qu'on prenne pour nouvelles variables GZ =/? et l'angle TMP=:fi, on aura l'angle PCZ=/i et CZ=;?=CM cos (^&— «MCP}; développant le second membre et mettant au lieu de CM cos MCP et CM sin MCP leurs valeurs j? et^, on aura
;? = X cos /t ^j sin fu
Diflférenciant cette équation et observant qu'on a d!r=— dl; sin ft et dy^^ds cos /t, il viendra
^ =^ cos ffc — or sin /te.
Au moyen de ces équations^ on obtient les valeurs de a: et ^ exprimées en fonctions de /? et de fe, savoir :
a: =;? cos fA — ^ sin /A, jr = ^ sin fi 4- ^ cos ju.
(il)
Enfin, de ce]Jes-ci on tire^ir = — dykhva m(p+^\ 4X^=^1^ ^^^A^/'+^) î donc dsssdfj^fp^^j, et en intégrant.
s = fpdp. 4- ^ + const. (i 3)
SECTION n. 589
C'est l'txpression de l'arc s dans laquellef il £Eiudra substitaer la valear de p en fonction de /i.
76. Cette valeur peut se déduire de l'équation donnée entre les coordon-»
nées X et ^, combinée avec Féquation différentielle ^=3'— cot/t, dont le
premier membre est une fonction connue de x et j^. En effet, on peut supposer que ces équations donnent les valeurs de x eljr exprimées en fonction de tang/t ; ensuite l'équation p^=^x cos fA^jrmi fA fera connaître la valeur de p en fonction de sin u et cos tu
On peut remarquer que si l'équation entre x etjr est algébrique, l'équation «ntre p^sin /i et cos /Aj sera pareillement algébrique ; mais en général , quelle que soit cette équation , si on prend l'int^ale Jpd/t de manière
qu'elle s'évanouisse ad point A, et que -— soit la valear de^exïce même point, on aura l'arc AM ou s ;ssfpdfi + ^ — ^^*
'j'j. Cette même formule servira À exprimer toute int^rale proposée par un arc de courbe.
Eu effet , on peut supposer que cette intégrale est mise sous la forme Jpd/A y dans laquelle ft représente un arc de cercle indéfini dont le rayon =zi j et p une fonction de l'arc /a, ou seulement des lignes trigonomé* triques sin /a et cos ft. On aura* donc l'int%rale cherchée
/pdt^^s-^%+'^. (.3)
Quant à la courbe AMB qui correspond à cette équation , elle est focile à décrire au moyen des équations (i 1) dont les seconds membres sont des fonctions connues de l'angle fi on des lignes trigonométriques qui dépendent de cet angle; et si on élimine /a de ces deux équations, on aura, sous la forme ordinaire, l'équation entre les coordonnées a: et j^ de la courbe dont un arc compiis entre des limites données servita à exprimer l'intégrale T^^/t. Il faut maintenant montrer dans quelques exemples l'usage de cette théorie.
78. Exemple I. Soit proposée ^intégrale Z =i/d/A y^(i—^c^ sia^ /a), que nous avons coutume d'exprimer par l'arc d'ellipse E(cj/a) compté de l'extrémité du petit axe«
Nous aurons dans ce casjpss y^(i— ^ sin*/i), valeur qui étant sttl>stituée dans, les équations (11)9 donne en faisant 6:=t/(f — e*)> T. U. 93
déduin jr^ = b^ (i — x*), c'est l'équation de l'ellipse rapportée à son grand
fi- 1> iÊMfi. 4Unf|i,ea fiôsaût CAsv: k j C!Bs6,jetd逻rivai||tiiW ces deux demi-axes .l'ellipse A^MBy si on désigne par s l'arc AM compté de l'extrémité du grand axe où /b6 = G jusqi:^au point M dont les coordonnées sont x et/*, cet arc servira à exprimer Tintégrale Z , de sorte qu'on aura Z ou
Cette .éqoatioa n'ept auti;e c^ose que :1e théort^ine 4e f^ivuû que odous .avoosjiQnné.tQm.I, art 36. En effet, fi on détermine l'arc BU complé de Ij0xtr6imté Au ^tàt axe, par les coordoonées CQ s^ sinf», IHQ ss^cos^t, en
ffiéipe tem{is que l'arc AW l'iest par les ^OQçdonnée^ CP == -pT^j-^^^^ , PM = -77 — "°^i , \, on aura, ep vei*u de ce théoirème,
4inâ Fapplicatioa de notre fonpule conduis da^9 ce cas à un théprème
79. Exemple IL iCherckons maintenant la iiourbe qui par ses arc^ peut servir k exprimer l'intégrale Zssj ^^J\ > v ^^^^^S^^l^fiue °ows avons coutume de représenter par F(c , ft)/
U &nt faite dans ce cas;? 5= (i — cVsin*^)"», ^!i^ donnera, les valeurs suivantes des coordonnées a: et r :
• cos^
— sin^
Cette courbe qui appartient au sixième degré et dont la forme se rapproche de celle de l'ellipse^ tant qu'on a ^•<^, est la même que nçns avons déterminée d'une autre manière dans la théorie des fonctions ellipliques, chap. y II; elle donne Z ou
etkfimction c?oiiiplièteF*6câs;f', i«^ét^ cpiartdë la courbe oompro depuis ^ s= o jusqu'à yu =z= ^tt.
Le cas de c*=^ ^ géuëralemeut rendu ^ eoèime on sèît, pur la lemuiscate qui n'est que du quatrième degré, et dont leJ^ arcs' expriment directement la &ocUon F sans addition d'aucune quantité algébrique^ Ltf s61iidoa du même cas déduite de la formule précédente donne une courbe du sixième
degré dont l'équation est^-ïss c(2+x^) y^(i — x^ ), o\ijr^=z2 — pT* — 5* • Cette courbe est moins simple que la lemniscate , mais elle a l'avantage .d'a<^ voir une figure peu différente de celle de l'ellipse.
80. II est très remarquable que notre nouvelle rormulè conduise si facilement à la solution d'un problème que nous avons regardé' coAitne fort difficile, et qui parait n'admettre "aucune autre solution; celui de trouver une courbe algébrique dont les aivs TOpréseMent généralement la fonction elliptique de première espèce F(c , fi}.'
£n général on voit que toutesles fois que /i sera une fonction algébrique de sin ^i et cosfc, la coui^ dont les aires servent à exprimer l'intégrale fpd/Aj sera-aussi une courbe algébrique. Ainsi la qixadratûre d'une courbe algébrique peut toujours se réduire à la rectification d'une autre courbe algébrique y proposition dont l'inverse seulement était connue.
8 1 . Exemple III, Soit proposé tie trouver la courbe algébrique dont lès arcs représentent la fonction elliptique de troisième espèce n{it) c^ /i) sfi>
dfê (i + nsin» l/(i — c*8in»*
Il suffira de faire ;i = (i -|ri»«n*/»)^'(i — 'C'sin*fi)"*, et la substitution de cette valeur dans les équations (ii) donnera les valeurs swvanlet -des coordonnées de cette courbe, où l'on a fait v^(i — c*5in*/Dt) = A.
y = ix+nZ^yA' H-c* — 2l»+(S»»-- i)(l+g')"n'u^4<^'il8iDV]- On aura ensuite pour la fonction FI cette expression
et si s* représente le quart de la courbe compris depuis ;t = o jusqu'à a = ^ ^, on aura la fonction complète n'(/i, c)^s s\
On trouverait de la même manière, la courbe algébrique dont les ârès «er-
Sg9 APPENDICE,
viraient k exprimer, daas le cas des paramètres imaginaires, UudooUe toike^ tion de troisième espèce.
. 6a. jRxeivy^ /^. Soit /? sss a sin ft tang^ fc , on aura â^ss^iatang* pt'^
j^ss3atang*/ic et iss --3— — 2a.
On déduit de ces valeurs l'équation ax^ss-^jr^* ainsi la courbe dont il s'agit est la seconde parabole cubique.
85. Exemple V. Soit jpssacos;t*t*&8in^ ""i/t i*!l^^^ \^ on aura ,^ en supposant a^s^ ^*+^9
(t^—à^ÙM^fijlV
D'après les valeurs de a: et de j^, on trouve que l'équation de la courbe
peut être mise sous la forme r^'^-J^+Ti'^Ty == I9 ^^ ^l^i^ ^^'i v<>î^
que cette coiûrbe est la développée de l'ellipse.
84* En général, si on prend la valeur de p telle qu'on puisse obtenir algébriquement l'intégrale 7^^/ti, l'arc 5 dont cette intégrale dépend, s'exprimera aussi algébriquement. On produira ainsi une classe infinie de courbes rectifiables, comme sont toutes les développées des courbes algébriques.
Soit alors fpd/i = 7, ou pz= ^, on aura pour décrire l'une quelconque de ces courbes, les équations
do dda
X =s^ C08 ;* — ^ 8in /4 ,
da ddiQ
et la longueur d'un de ses arcs sera donnée par la {ormule
* = 7 -+• ^ + con'bt 85. On voit , par ce qui précède , mie toute quadrature proposée se
doit à la rectification d'un arc de courbe compris entre deux points donnés, ce qui peut contribuer à simplifier la construction ' géométrique d'un grand nombre de problèmes; car en général on peut obtenir plus facilement une première valeur approchée d'un arc de courbe dont on a l'équation que celle d'une quadrature. Mais s'il s'agit de calculer avec beaucoup de précision la longueur d'un arc de courbe proposé, il conviendra de revenir aux formules du $ I , pour déterminer l'arc s par le moyen de l'intégra le y^^ft. C'est ce que nous allons développer dans le § suivant.
§ XV. Formules pour calculer avec précision la longueur de tout arc de
courbe proposé.
86. Soit comme ci-dessus, l'arc AMsss^^ la perpendiculaire CZ abais- Fig. a. sée du point fixe C sur la tangente en M ^^p^ l'angle TMP que fait la tan*^ gente avec l'ordonnée MP, =/it; on pourra regarder p comme une fonction connue de l'angle /t ou des lignes trigoncMnétriques qui déterminent l'angle lA et £ûre en conséquence p ss F(ft). Cek posé , on aura là longueur cherchée
l'intégrale fpd/t étant prise de manière qu'elle s'évanouisse au point A»
Cette formule se simplifie en supposant que l'axe des abscisses CP, qu'on Fi«> B. peut prendre arbitrairement , se confond avec la perpendiculaire à la courbe menée par le point A , car alors on aura dans ce point ft s=: o , et
-£^5=0, ce qui donnera y=/)7df/Dt+^*
Maintenant, pour avoir la longueur totale AMB=^% il &ut prendre l'intégrale fpdfA depuis le point A où nous supposons ft = o jusqu'au point B où nous supposerons /t =: 0. C'est ce qu'on peut faire au moyen des formules du $ l ; elles donnent d'abord , en prenant le nombre entier n à volonté,, les valeur» approchées y)cy£f;i=0M,y]^d^=:8fî, dans lesquelles M est la moyenne entre les n quantités suivantes :
KFo + Ffl), FÎ. F^J Fîl=i«>
et M est la moyenne entre les n quantités
594 APFESrDlCE,
On aura entuile ém yakars plot exactes de l'intégrale fpdfé en ap^sla* quant lea oocrtctioM toéoenaîies aux quantitét SUft et ON.
87. Bfais il &ttt avant tout examiner le cas particulier où nous avons déjà fidt observer que le calcul n'indique aucune correction , ce qui ne vent pas dire que la correction est nulle , mais que les quantités Oiffet 0N approchent beaucoup de la vraie valeur de l'intégrale Jpdfi'y qu'elles en approchent â peu près également l'une en plus , l'autre en moins ; que lé milieu pris entre ces deux quantités donnera environ deux fois pltis dé chiffres significatif exacts que l'une des deux séparément; qja'enfiay ajires l^Msai fidt sur des valeurs assez petites 4'e n , qui feront voir combien de décimales exactes on tire , soit des valeurs OM et 0N prises séparément , soit de leur moyenne iCOM+dl^)» on ser^ à portée de juger quelle est définitivement la valeur qn!on dbit dbnner à n pour obtenir tel d^ré d^p* proximation qu'on voudra.
Pansy ce mê^iecas,, les qiiamités^ et. ^^ s^on t. nulles,, de sorte, qpa
Fare entier s^ s^exprimera par l'une^ dm deux valeurs 0M' et ffill , on plus exactement par le milieu pris entre elles.
88. Ces résultats s'appliquent immédiatement k toutes les courbes ovales qui comme l'ellipse ont la propriété d'être paitagées en quatre parties ^les et semblables par deux axes rectaogubites, qui sont en même temps^ per-^ pendiculaires k la courbe.
Alors 9 en fidsant 6 = j^^, le quart d'une telle courbe sera exprimé par
* M ou ^ N, en calculant M ou N d'af^rèii une valeur de n qui répoMla
au deçré d'approximatipu, qu'on veut obtenir. Ainsi le calcul donne immédiatement par les quantités M ou N, le rayon du cercle égal en cif conférence k la courbe proposée.
11 ne s'agit dans chaque cas quedecbercherla fouction/^ou F/t^qui représente Ia.perpendic^]airQ mcnéfi4u centre sur la tangente au point où l'iiogle que fait cette tangente avec l'axe des. ordonnées est /i. Avec cette fonctioD F/A on formera les n quantités dont la moyenne désignée par M ou par N sera la valeur du rayon cherché.
Telle est la proposition générale dont nous avons parlé dans l'art. 74; elle comprend comme cas particuliers, non seulement Ip théorème de Jean BernoulU sur la circonférence de l'ellipse, mais encore tous les théorèmes semblables qu'on pourrait déduire de la considération d^ moius repiorius de
secmoNii. 595
MIL nuUiir, appl^uM nux courbe» qompotées d? quatre pariîes ég^ ël CQmqie r^ellîpse; theoFenes qui sont lîmilés par ce genre de conslrucdcm au cas où I» est une puissance de a , mais qui , suivant notre proposition , auraient lieu également pour toute valeur du nombre entier n.
89. Nous observerons encore que la fonction P(Ay A), considérée dans la section I, sous le nom de. P(A, n)y a pour expression générale
ifïT+^S^rè^^' ^"® int^ràle étant pris^ depuis aas=o jusqu'à
u:=zl7r. Or, si d'après la valeur p ss F (a) = t — i — f^^^ ■ — rr, on conr- • j X. r \i-y (i + a*— a«co8 2^)*'
struit une courbe qui par ses arcs serve à exprimer l'intégrale fpdftj cette
^courbe sera composée , comme l'ellipse, de quatre pi^rties égal^ et semblables ;
lie^rte qu'on aura entre les limites assignées jjvd^ss - M on Jpdii^ ^=^'JS(j
et par 8aiteP(A, h) — ^M^ ou P(A, A)=JC, ou plus exactement P(X, A)^»;^-!^- Ainsi, la fonction P(X, A:) dont nous avons développé les propriétés, se rapporte au cas le plus ample des quadratures , et sa détermination ne dépend que des quantités M et N, qu'on peut former immédiatement au moyen de la fonction ^=3 F(fi) et du nombre enU^ ^ pris arbitrairement.
U en serait de même des çoeffici^ms diffîrentiels ^ , ^ , etc. , qu'on déter*
minera semblablement après avoir mis chacun d'eux sous la forme - fpdf/L.
go. On peut remarquer enfin que le résultat trouvé pour les courbes ovales composées de quatre secteurs à angle droit , égaux entre eux et placés symétriquement autour des axes communs, s'étend à une infinité d'autres courbes composées d'un même secteur qui se répète un certain nombre de fois dans des positions alternatives. Soit S l'angle de ce secteur ; si 9 est commensurable avec l'angle droit, la courbe rentrera sur elle-même après une ou plusieurs révolutions autour du centre commun de tousJles sec* teurs; mais si 6 n'est pas commensurable avec l'angle droit, la courbe fera une infinité de révolutions autour de son centre. Dans tous les cas, l'arc de courbe qui termine le secteur dont l'angle est 0, a pour valeur la quantité OM ou 0M, c'est-à-dire, qu'il est égal en longueur à l'arc du secteur circulaire dont l'angle est 0 et qui a pour rayon la valeur de M ou de N donnée dans l'art 85. En vertu de cette observation, notre théorème se trouve appliqué à un système infini de courbes, dont les ovales,' à quatre parties égales , ne sont qu'un cas particulier.
Sg6 APPENDICE,
Qi« Si nous revenons uainten^Qt à la détermination générale de l'arc s^ > dont les timites s'étendent depuis /b&x= o jusqu'à ft=9, nous verrons qu'il ,
suffit d'ajouter le terme ^ à la valeur de /pd/t ou fPdfA , donnée dans
Part. Sg. On aura donc pour cet objet les deux formules çuivan^es ^ans <.
F%. B. Ces formules se simplifient beaucoup, si l'on a ^ =0 , c'est-à-dire, si le ^
rayon vecteur CB est perpendiculaire sur la courbé, au point B, comme le rayon vecteur CA l'est au point A. Or^ cette condition est toujours facile T k remplir, parce qu'on peut prendre pour centre des coordonnées, Tin- >^ tersection des deux perpendiculaires à l'arc AMB, menées par ses deux ^extrémités A et B. Alors on aura les valeurs corrigées
1 aivr ?•* f^ (fFo\
lesquelles pourront être portées à tel degré d'exactitude qu'on voudra , eu prenant cê assez petit ou n assez grand pour que le t^erme suivant de la eorrection soit négligeable.
