En eflfet, on peut supposer

(i — c* 8in*x)*=sA,-t-aA| cos ax + aA, co6 4^+a Aj co6 6 ^ + etc^

les coeffiicîens A,, A,, A«, etc. étant des fonctions de c et de k qu'il est fiidle d'exprimer en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de c*. D'après ce développement, l'intégrale fdx{\ — c* sin^â?)*, prise depuis jc = o jusqu'à jc =: 7 ?r, a pour valeur exacte A«.^ ^. Yoyona jusqu'à qud point on. approche de cette valeur par la formule suivante où l'on doit

faire « =:^etF(«)=(i -^c* sin^x)*;

D'après la formule précédente ^ on a

Ck>ntmaant ces séries jusqu'à la ri*^ qui repré«»itè ^(^^ •), et fiôant la somme de toutes, on aura

- N = âi [ Ao» 4- aA,/cos m + ^A./cos ae^ 4- 2A^f 00& 5â»-f-etc.] ,

expression dans laquelle /^cos 6# représente la somme cos a -f- cos 5ûê -fcos5û» jusqu'au n'^' terme inclusivement -f- cos (2i2«— 1)6#^ de même /cos ao» représente une somme semblable dans laquelle on met a» à la place de a», et ainsi à l'infini. Maintenant il résulte des formules connues pour la somme des Cosinus d'arcs en progression arithmétique (Introd. injÉiud.^

art. a6o), qu'on a en généraiycos 1»» ="". /^'^ , Donc tant- que m

n'est pas égal à an ou à un multiple de a/i , on a /cos m€ê =s o ; mais si

on a ms:s2in. tétant un entier, la fraction *'" v '^Hl ^qq^ \ç numéra-

' ^ a sm {mm ) '

teur et le dénominateur s'évanouissent dans ce cas, aura pour valeur

^nm coè (2nmm) ncosmir •^ ry ' • i

7 — ~ OU =5 n cos l'fC. Donc , on aura en gênerai

(8) ÎN= :[Ao — aA„+2A4.-aA^ + etc.],

SECTIOJ n. 58ï

on trouverait, par la même méthode,

I M = ^ [A, -f- 2 A„ + a A4, + 2 A«. + etc.]. (9)

64* Ces formules font voir que la correction qu'il faut ajouter à l'intégrale approchée - M pour avoir l'intégrale exacte - A», est

— '?5r(A., + A4, + Ag, + etc.) ;

et parce que le coefficient A, 'comparé aux puissances décroissantes c^^ c^j c^y etc., est en général de l'ordre c*", la correction précédente sera censée de l'ordre c^'.