CHAPITRE III
Variable.
• Fonction. DifF. I.
Auxiliaire.
Diff. I.
JNtQOOO
JVÏQOO.
TJoo»
JVUOOO
Qooo
JNQOOO
J'iQooo
f — aa
XJoo
«ru~
<r»ij~
QOO
JVïQOO
f — et
<ru«
Qo
«TQ»
«TQ
Pour aller plus loin , on calculera l'auxiliaire Q'' qui répond à la variable Ç + aa; on en déduira les diflërences successives J^'^ J^*Q, cT^Q®, J^*Q***,
J^AQpo
en-
au moyen desquelles on connaîtra S^V = QH J^*Q° -
suite cTU et Ij% ce qui ajoutera un terme à toutes les colonnes.
Dans cette méthode , on ne néglige que les différences o^Q , lesquelles sont de Tordre atVp puisque Q est de l'ordre a* ; on pourra donc fixer- a priori le nombre de décimales qu^on devra admettre dans l'expression des fonctions U; mais nous avons déjà fait observer que les erreurs sur les différences secondes se multiplient comme les nombres triangulaires ; ainsi il Ëiudra se procurer, à des intervalles déterminés, des valeurs exactes de la fonction principale U ou de sa différence première cTU, afin de connaître et de corriger les petites erreurs qui auraient pu s'accumuler par le progrès des opérations.
708. Les deux méthodes que nous venons d'exposer sont en général très propres à remplir l'objet qui était proposé de construire une Table des valeurs de l'intégrale U=yWip; elles ont l'une et l'autre des avantages et des inconvéniens qu'il faudra balancer lorsqu'il s'agira de les appliquer à un objet déterminé. Nous remarquerons ici que la seconde de ces méthodes peut avoir une application particulière et fort utile, s'il s'agit en effet de construire une Table des valeurs de la fonction U » d'après la seule connaissance du coeflicient différentiel du second ordre ^-7 = u, en sorte qu'on ait U = JJud^^ ; le problème se résoudra immédiatement par la
formule cT^U^ =. Q +^ cT'Q* — ^cTHÎ^^ +6^ ^'^''* "" ^*^' ^^ ''^" ^ Q = a*«.
L'usage de cette formule suppose que l'on connaît à l'origine de l'intégrale les valeurs de U et de /U; ces deux données suffiront pour calculer la série entière des valeurs de U ; et si l'on a besoin dans cet intervalle ,
de l'on des cœfliciens différentiels ^, on le calculera par la formule ordinaire
a^ercTU— ier-U + icT'U — ij^U+etc.
709. Si l'on proposait ultérieurement de former une Table des valeurs de la fonction U, en connaissant seulement le coefficient différentiel du
3* ordre 3-3- s=: u, en sorte qu'on eût U = f^ud^^j u étant une simple
fonction de ^, la solution se déduirait aisément de la même analyse que nous avons suivie dans Fart. 696. Soit pour cet effet 1^ ce que devient la fonction donnée u , lorsqu'on y met ^ + i ^ 9 au lieu de ^, on trouvera
a^ç t= eT'U* — A'cT^U^ -f- A^'cT'U^ — A^'cT'U^ + etc. ,
les coefficiens A/, V, k'^y etc. , étant les mêmes qu'on déduirait de l'équation identique ^
Soit donc a'f^ = R ; et de l'équation précédente on déduira
J^'U- = R + i /-R- - ^ c^R- + ^. «T'Ro- - etc. ,
la loi des coefficiens étant la même que donnerait le développement de
Au moyen de la formule précédente, il suffit de connaître à l'origine de l'intégrale les valeurs de U, J^U, J^'U, ou ce qui revient au même , les trois premiers termes de la série U, U\ U'', et on formera la série entière des valeurs de l'intégrale U=y^iidip*.
710. U résulte encore de la même analyse qu'étant donné le coefficient
différentiel du quatrième ordre ^ = u, si l'on fait a^u ss S , on aura la formule
J^4U- = S + 1 cf*S« î- cl^- + T^To J^'S*^ — etc.,
au moyen de laquelle on pourra calculer la série entière des valeurs de l'intégrale U = /''^tte^^ , pourvu qu'on connaisse les quatre premiers termes de cette série U, U', U'', U^, ou ce qui revient au même, les quatre quantités U, J'U, cT-U, cT'U.
