CHAPITRE III. 5y

On a vu dans les art. 704 et suivans comment les calculs doivent être disposés pour former graduellement la série des auxiliaires et celle des fonctions. Pour éviter à cet égard tout embarras, voici comment on mettra en usage la dernière formule

cT^U** = S + ^ J^*S» — etc.

La valeur de S étant donnée en fonction de ^ , on pourra calculer préalablement , avec telle étendue qu'on voudra , la suite des quantités S y tant dans le sens des variables croissantes ^, ^-|-a, ^ -|- ac^, etc., à partir de la première valeur de ^^ que dans le sens contraire ^ •— a, ^ — 2«, etc. , s'il est nécessaire. Avec ces valeurs et leurs différences successives, prolongées jusqu'à ce qu'elles puissent être négligées, on formera autant de lignes qu'on voudra , telles que les suivantes :

S» , «TS* , «T'S» , cT'S» , «f «S» , etc.

S , «TS , «T'S , J"S , J^S , etc.

S' , /S' , «T'S' , J^'S' , cT+S' , etc.

S", «TS", cT'S", «r»S", «T^S", etc.

Cela posé, puisqu'on a en général

J^U = S" + g «T'S' -,^S + 7-^. «T'S» — etc.

( valeur qui se réduira le plus souvent aux trois premiers termes ) ; on voit que pour chaque valeur de ^ , la Table des quantités S donnera immédiatement la valeur de cT^U, laquelle jointe aux valeurs connues de U, cTU, J^U , J^U , servira à former dans la ligne inférieure les termes U' , cTU' ,

Calculant de même la valeur suivante de /^U , qui est cT^U'f, on formera une nouvelle ligne U', cTU'', J^U*, J^'U', et ainsi jusqu'à la limite de la Table qu'on veut construire.

On voit que pour êiv& en état de calculer le terme J^^U qui sert à trouver U'^, il suffira d'avoir avancé la série des S jusqu'au terme S*^ qui sert à trouver el^S, en supposant du moins que la. valeur de J^^JJ soit exprimée d'une manière suffisamment exacte par les trois premiers termes de la formule. Ainsi , dans les cas les plus ordinaires , la série des S ne devra pas être prolongée au-delà de la valeur de ^, où doit se terminer la Table; dans ces mêmes cas où l'on n'a point égard au quatrième terme de la formule contenant J^'S^, le calcul des quantités S ne devra être fidt qu'à

compter de la pramière valeur de Çj puisque les quantités précédentes S^^ S^ j etc. y ne seraient d'aucun usage.

711. Il ne sera pas inutile de réunir ici , sous un même point de vue, les difierentes formules que nous ayons trouvées , pour former une Table des valeurs de l'intégrale U, lorsqu'on suppose connu y en fonction de la

seule variable ^ , l'un des coefiiciens différentiels ^ , -^ y -^ , ^ ;

voici ces formules où nous avons constamment désigné par P l'auxiliaire qui doit être employée dans chaque cas.

Soit i\ l'int^rale U s/W^; on fera P = ai^, v étant ce que devient la fonction donnée u , en mettant ^ -{- ^ a à la place de ç y et on aura la formule

-^U = p + ^ J^-P<^ - g^ cM- + -|i, cT'P- - etc.

Soit a^. l'intégrale U =±//^udç* ; on fera P := a^u , et l'on aura la for^ mule

eT'U* = P H- i- J^P — 4- J^^P** + c^ cf«P>oo— etc;

Soit 3*. l'intégrale U = J^ud^^y on fera F = m^i^ , f^ étant ce que de-^ vient u , en mettant ^ + 7 ^ au lieu de ^ , et on aura

tr»U*= P + i cf*P* L cT^P-o + -^^ J^«pooo etc.

Soit 4** l'intégrale U s f^ud^ , on fera P = a^u , et l'on aura

cmjoo = P^.^cr*F> Lcr4poo^^iL.JN6p-etc.

U serait Ëicile de prolonger à volonté la suite de ces formules, en observant la loi qu'-elles suivent et qu'on démontre généralement par l'analyse ^ n^ 6g6. Ainsi pour Fintégrale U = f^ud^^y on ferait l'auxiliaire P = A^^ y et on aurait la formule

J>5uoo = P + J- JN*po ^ J^^po. + etc. ; pour l'intégrale U ss/W^^, on ferait P = afuy et l'on aurait la formule

cTnj*^ = p + ^ cT^P* — T^ cT^P" + etc. ,

ainsi des autres.

Quant à la Idi des coeffîciens, elle est la même que celle qui résukerût du développement de la puîssaace