CHAPITRE I
La série des modules c, c% c*% etc. comprend toujours un terme de plus; elle devra par conséquent être terminée au module c^. La raison en est
qu'on a alors €/*=(xC^*^*)*.7jriirî> et qu'ainsi le logarithme de i**^' est
nécessaire pour composer la valeur de log c^.
Passé le terme c/*, il n'y a pas lieu de considérer le suivant c^+' , parce qu'on aura sans erreur sensible c^'=s(ic^)*, et qu'ainsi la quantité
— log — ne change pas en mettant ft «(- i à la place de f».
Cela posé , il est facile de voir qu'on connaîtra les limites des différens cas , en commençant par déterminer la valeur du module c qui donne pour son complément log is= — j- ( lo)^**.
Le module supposé c étant extrêmement petit, on a d'une manière suffisamment exacte & s=: i— ^ c* et log&=: — t'wc*(*); donc c* = M(io)""** et c = ( lo)"' v^M, ou
loge = 3. 1811078.
Si on assimile c au sinus d'un arc, on trouvera que cet arc n'est qu'une fraction de seconde et qu'on a c = sino'^o3i3.
Il faut maintenant partir de ce module très petit pour former la suite des modules croissans c, c'^ d\ c"\ etc.; c'est un calcul qu'on pourra faire d'une manière suffisanunent exacte pour notre objet, par une table à sept décimales seulement.
On aura d'abord c' ^ ^/^ , ou simplement c/ssay/c, ce qui donne
log c' = 6 • 891 5839 et ^ = sîn o®a'4o''7o.
Pouravoiri/'jcfai»€K==tang*ifl,j'ai/tangifl=8.44579i9,ifls=i*35'55"78, 8=3* ii'5i''56; donc </^ = sin 3^ii'5i"56et log c'' = 8 . 7464836.
Si on &it de nouveau c'' = tang* ; 6% on aura / tang 7 d' := 9.373^41^^ \^= i3^i7'i8''84, fl' = a6*34'37"68 ; donc c'" = sin 36*34'37''68 et loge/'' = 9.6506981.
Soit enfin c/"=tang*ifl'', on aura /tangiô''=9.8a5349o, i 8''=33*46'4o''i 5, ft"=s67*33'ac/'3o; donc c';3=:sin67*33'2o"3o et log r'^ss 9. 9657898.
C) Dans tons les calcnls logarithmiques qui suivent, nous désignerons constamment par la lettre m, le nombre connu o . 43429 > etc. don t le logarithme est 9 . 687^8 43 1 1 3 00537 et pÊT la lettre M son inverse a . 3oa58, etc. , dont le logarithme est o . 3622 1 56886 99463 •
645. Il résulte des calculs précédeus, 1*. que depuis c^ sin 67^33' jusqu'à c = sin 26*34^ on devra se borner à calculer les quatre termes b^b^^ *•% *••% et les cinq c, c^, c«^, c*-, c'***;
2^. Que depuis €; = sin 26*34' jusqu'à c = sin 3*11', on n'aura à calculer que les trois termes A, J% J"*, et les quatre c, c**, c*", d^^\
3**. Que depuis c = sin 3*i l' jusqu'à c = sin o**2'4o", il suffira de calculer les deux termes J, J**, et les trois c, c% c*";
4". Que depuis c = sin o*2'4o" jusqu'à c = sino''o3i3, il suffira de calculer le terme i, et les deux c, c*;
5"*. Enfin qu'au-dessous de c=sino''o3i3, on n'a besoin que du seul terme c.
Tel est le nombre des termes de la série des modules et de celle de leurs complémens, qu'il sera nécessaire de calculer dans les diflférens cas, pour obtenir 14 décimales exactes dans les logarithmes des fonctions F'^, £*€?, F'Â, E^&. Nous allons faire voir maintenant comment les calculs de ces modules peuvent être effectués de la manière la plus facile.
Formation de V échelle des modules,
646. Connaissant les logarithmes de c et i, il s'agit de trouver ceux des termes suivans c* et 6**. Pour cela, soit c*=ar, l'équation b'*cz^:i^{bc^)
donnera x = , ' (i — ^) > et en faisant p = ^-^r^ , la valeur de x développée en série régulière sera
Mais il importe de calculer directement logo:; or la valeur xz=z -Kii — ^^^' donne
d'où l'on tire en intégrant,
losa: = log;;-;^ + -.p*-j-3.îÇ. + ~3.-^.-^ — etc.
Ces logarithmes sont hyperboliques; pour les changer en l(^arithmes vul* gaires, il faut multiplier les parties algébriques par ?n; c'est pourquoi faisant
IPzszmp* — in^ + ^mp^ — etc.^
