CHAPITRE I

OD aura log x ou

log c® = log ;> — P et log i' = — î Pj

ainsi on connaîtra à la fois log <f et log b^.

La même formule servira à calculer les termes (f"^ et b^^ au moyen des deux précédens c^, 6^, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait formé l'échelle entière des modules dans les limites déterminées par l'art. 645.

Nous remarquerons qu'en supposant toujours qu'on veuille obtenir i4 décimales exactes, la valeur de P ne comprendra jamais plus de trois termes; on trouvera même que le troisième ne devient nécessaire que lorsque c est peu éloigné de la limite sin 4^^; dans les autres cas, il suffira des deux pre* miers termes mp^ — | mp^^ et souvent du seul premier terme m/?*.

647. Si la première valeur du module c est donnée sous la forme ^s=sin6, et qu'en même temps l'angle 6, ainsi que sa moitié, se trouve directement et sans interpolation dans les tables, alors on aura inunédiatement les quatre modules c, &, c% &^, par les formules

^=:sin6, A = cosfl, c^ = tang*5fl, A* = — ^-,-5.

On calculera ensuite les termes c'*, b^ en les déduisant des termes précédens c^, b^y par les formules de l'article précédent. C'est ainsi qu'on a procédé dans les calculs qui ont servi à former la Table générale des fonctions E'^;, FV dont nous parlerons bientôt.

648. Si la valeur de c est donnée en nombres rationnels assez simples, il pourra être facile de trouver les valeurs logarithmiques de &, c*, &^ au moyen des formules

et pour cet effet on emploiera la Table connue qui donne jusqu'à i5 ou 20 décimales, les logarithmes des nombres de i à 116 1, ou même de i à 1200. Les calculs seront encore plus faciles si la valeur de b est donnée immédiatement en nombres simples.

Si on ne connaît que log c ^ dont le double sera log c*, on cherchera dans une Table ordinaire à sept décimales, un nombre qui approche de <^ jusqu'à la sixième ou la septième décimale ; on transformera ensuite cette valeur en fraction continue , afin d'obtenir une fraction ordinaire exprimée en nombres assez simples qui approche beaucoup de la valeur de o*. Cela posé , on appliquera la formule suivante qui sert à trouver facilement log (i-f-A), lorsqu'on connaît log A :

l(^Asloga-fT, log(id=A)=log(i=fc«)d=^(,H-^);

et pour fiiciliter le calcul de cette formule , on fera

»' = 7~^, logR=/a4-^+ir',

et on aura

log (i d= A) s=s 1(^ (i dbn) =t R.

Par le moyen de log c% on connaîtra donc log (i — ^*)9 ou ^ log &; ensuite il faudra trouver log ( i H* ^)9 ce qui se fera par Papplicatiou de la même méthode. Enfin connaissant log(i «|*&), on aura immédiatement les logarithmes de (f et h^y par les formules

649* Sî on ne veut pas pousser Tapproximation au-delà de dix décimales, le calcul des premiers modules se fera sans difficulté par les Tables de Ylacq ou de y^9 en fîiisant les interpolations nécessaires, et ayant égard aux secondes différences. On peut à cet efiet suivre deux méthodes différentes.

1^. Étant donné log c ou log sin 0| on cherchera l'angle d avec tout le d^é d'exactitude que la Table comporte, c'est-à-dire en calculant les fractions de seconde jusqu'à la cinquième décimale au moins ; d étant connu , on aura par les interpolations ordinaires, les logarithmes des quantités ^,

if, h\ savoir : ftssacosfl, c'sstang^^fl, i^sB^Î^.

Ces calculs pourraient être faits dé la même manière , lorsqu'il s'agira de trouver c^ et 6^; mais ils deviaidraient plus compliqués, et les interpolations moins exactes à raison de la petitesse du nouvel angle d. Il sera donc préférable alors de se servir de la méthode de l'art. 646.

3^. Pour éviter les interpolations assez pénibles qu'exige la méthode précédente, on peut opérer comme il suit.

L'angle d auquel répond / sin 0 , tombe toujours entre deux angles de ]a Table, qui ne difiërent entre eux que de 10". Soit le celui des deux qui est multiple de ao'', et soit

/ sin 0 =s Z sin a -^ r; on déduira de là ,

/ cos 0 := / cos « — r tang* a r I -f"^^} ) / lang i fl s= Z tang i * + ^^ ( I -f JMr fang» «).