CHAPITRE V

Enfin , dès ^'und fois on aura dédâit des données c , f , les noaveaux éUmens c^^ f* ou </, 9% il n'en coùterfi guère davantiig^ pour oonliniMr les suites Cy <f ^ d' ^ etc., et .f ^ ^% ^'^ été., }UB({u'au troistètne ferme en«viron , comme cela est nëcessaire pour obtenir directement une valeur awd «I^rochée. qu'on voudra de la fonction F {o^ ^), en la dëduiMint desi^rmules,

F(c,(p)=:Klogtang (45-4-1*'), ^=^\/(~)*

oà ^ daigne la limite des angles (p , ^\ ^^^ etc. ; ^t dans ce cas, on n'aura aucun besoin de la Table des fonctions £.

799. II résulte de cette discussion que , quoique la fonction F puisse s'exprimer rigoureusement par deux des fonctions E; cependant cette pro^ priélé ne fournit pas des moyens de calcul assez simples pour être employée utilement dans les approximations. 11 en est de même de IHisage

qu'on voudrait &ire de la formulé F sae E — ^'jZy ^^ ^ ^= E — tangO^^ en fiôsant c == sîn 6.

Car, pour fiiire l'application de cette formule, il faudrait d'abord ôde en possesnon d'une Table complète des fonctions E , calculée |mhiv touiM ks valeurs de 6 et de 9 , de demi-degré en demi'^^ré ; de plus «n appt»

lant a la longueur d'un demi-degré , ou faisant a = ^ , le coefiicnent diflSSren^ -^ devrait être tiré de la formule

« ^ =r cTE — icT-EH- i€r»E^ i<r4E + etc.,

oii les différences successives J^É, /*E, J^, etc., sont relatives à la variable 0 seule. Mais on voit quà cause de la petitesse de a , la valeur a0

^ ne serait déterminée en général qu'av«c deu% 4écimaies de moins Âga» h

fonction E, et la précision diminuerait encore à mesure que tsng % aug^ menterait ; ainsi ce moyen d'approximation que nous avions proposé autrefois , ne saurait être adopté.

780. Ayant écarté plusieurs des moyens qui se présentent natureUement pour construire des Tables propres à faire trouver aisément , dans tous les cas , les valeurs des fonctions elliptiques E et F , l'idée peut venir encore de remplacer une de ces fonctions par une autre qui serait plus fiidle à

dont la valeur complète , lorsque f = -| ^nr , sera 7 tt ou i , selon qn*on fiut c = o ou c =s 1 ; de sorte que dans les cas intermédiaires eette fonction éprouvera peu de variations , et sera très propre à être réduite en Tables.

Et puisque la fonction F peut être déduite des fonctions E et G^ an moyen

de l'équation

il semble au premier coup d'oeil que la fonction 6 pourrait être aubstitaée avec avantage à la fonction F, au moins dans la partie des Tables de celle-ci qui se prête difficilement aux interpolations , c'esL-à-diiG kmque les angles 0 et 9 sont tous deux plus grands que 70 on 75*.

Mais j en examinant la diose avec plus d'attention y on reconnaît que la difficulté n'est qu'éludée ^ et qu'on n'obtiendra pas une plus grande approximation par ce moyen, parce que si on a, par exemple, ^ss — t

l'erreur de E — 6 se trouvera centuplée dans la valeur de F. H vaudrait dkmc tout autant , à mesure que 0 et f augmentent au- delè d'une certaine limite, diminuer le nombre des décimales qui entroat dant l'expression de F , afin que l'interpolation fût toujours Clément praticable, mais donnât pour résultat un moindre nombre de chiffires décimaux.

73 1. Pour donner im exemple de l'usage de nos méthodes, lorsque l'angle du module est peu éloigné de go^, nous joignons ici uneTsUe des fimctions E et F, construite d'après ces méthodes pour le module c ai sin Sg"". Cette Table, calculée par la même méthode que la Table H, n'est pas pourvue d'un aussi grand degré de précision, et on ne peut gn^ compter sur l'exactitude de la dixième décimale ^ mais eUo pourra être utile , surtout en fournissant des exemples qui serviront à apprécier (fiverses formules que nous donnerons ci-après pour les oas où le module est très peu différent de l'unité»