CHAPITRE V
tires les ons et les autres de la Trigon. Britan. de Briggs, publiée après la mort de cet auteur, par Gellibaànd, seul ouvrage où l'on trouve un aussi grand nombre de décimales ; car le Thésaurus Mathematicus de Pi- Tiscus , ne donne les sinus naturels qu'avec quatorze décimales. Nous avons cru que cette Table serait utile, ne fût-ce que pour mettre le lecteur à portée de vérifier par lui-même , et sans le secours d'un livre qui devient chaque jour plus rare , les calculs que nous avons développés dans différens endroits de cet ouvrage , et surtout ceux qui se rapportent à la Table des fonctions complètes.
La Table lY donne les logarithmes hyperboliques de taug ( 4^^+? ^)9 pour toutes les valeurs de ^ , de demi-d^;ré en demi-degré ; ces logarith* mes sont en même temps les valeurs de la fonction F^ , lorsque le module est égal à l'unité, ou lorsque l'angle du module est de gol^.
Connaissant , par la Table III , les logarithmes vulgaires de tang . • (45* *h 7 9) 9 îl ^ ^^ ^^ lÉultiplier ceux-ci par le module M = a . 3o35 , etc., pour avoir les Ic^rithmes contenus dans la Table IV.
Enfin nous avons cru faire plaisir aux calculateurs en ajoutant k ce petit recueil, la Table Y extraite des grandes Tables du cadastre , où Ton trouvera les logarithmes à dix-neuf décimales pour tous les nombres impairs de II 63 à i5oi , et pour tous les nombres premiers de i5oo à loooo.
736. La Table lY , dans laquelle nous avons inséré les dlfi^érences sucoesùves de la fonction , autant que le format a pu le permettre, fisiit voir que ces différences décroissent d'une manière très lente , lorsque l'amplitude ^ approche de 90^. Alors l'interpolation de la Table devient très difficile, ou ne donne qu'une approximation insuffisante; mais il e^t inutile de s'occuper de cette interpolation dans le cas de la Table lY, parce qu'on a d'ailleurs assez de moyens de déterminer avec toute la. précision nécessaire le \og. hyperbolique de tang (45* + 7^) > quelque soit Ç.
L'interpolation présentera de semblables difficultés, mais à un moindre degré , dans les Tables particulières dressées pour des modules dont les angles différent peu de l'angle droit J il y aura alors une partie plus ou moins étendue de chaque Table , celle qui répond aux plus grandes valeurs de ^, dans laquelle les interpolations exigeront un calcul plus long; nais cet inconvénient ne se fera guère sentir qu'à compter de l'angle du module 0 = 70'', et seulement pour des valeurs de ç non moindres que 70 ou 75^. On remarquera au reste que les simples Tables de logarithmes des nombres et des sinus , sont sujettes à un pareil inconvénient , vers leur T. II. • 10
74 nORSTRUCnON DES TABUS ELLIPTIQUES,
eonunencenient 9 et que celles des logaidtbmes des iaugéntes le soot an eommeBoemfiDt et à U fin , lorsque Tangk .approche - de 90^.
Il serait superflu de padev ici de la double înterpolatioii que I'od aurait à &ire selon les diverses .valeurs des angles 0 et f , lorsque le système de Tables dont nous avons parlé sera exéoulé, ou, ee qui revient au même ^ loffs^'on aura une TaUe â double entrée contenant les valeurs des Ibnctaons £ et F, pour toutes les valeurs des angles 9 et ^, de denii -degré en demi-degré. Mais il y a d'autres questions qui oonoernent la oonstructioD de la Table elle-même , et qui méritent d'être discutées.
737. On peut d'abord observer que l'interpolation est en général plus facile & l'égard des fonctions E qu'à l'yard des fonctions F ; et si on se rappelle que toute foni^tion F peut s'exprimer exactement par la fonction £ et une autre fonction de même nature, on en conclura qu'à la rigueur QU* pourrait se contenter de construire If Table, des fonctions £ ^ laquelle présentera toujours plus de facilités et moins dcfecas d'exception , dans lesi calculs d'interpolatioq. Cette observation réduirait presqu'à moitié le calcgl des Tables elliptiques, et ce calcul deviendrait surtout d'une exécution assez &cile , si on ne voulait avoir les fonctions E qu'avec sept décimales exactes.
Mais, d'un autre côté^ les fonctions F étant plus simples analytiquement que les fonctions E, il y a quelque inconvénient à déduire la fi[)nction la plus simple F ou F (c, ^) de deux fonctions plus composées ^(^f ^) 1 ^(^^9 ^^)* ^^ inconvénient n'est pas simplement idéal, il se fait sentir encore par la complication qu'il entraîne dans les calculs, puisque la détermination de la fonction E (c% (p^) suppose qu'on a calculé de nouveaux élémens c^, ^^, qu'on peut bien déduire trigonométriquement des élémens donnés c , 9 , mais qui rendent le calcul plus long et plus difficultueux.
728. Il faut observer de plus que quand on détermine la fonction F, soit au moyen des deux fonctions E (c, ^) , E (c*, Ç'), soit au moyen des deux fonctions E(c, ^), E (c', ^'), ce qui se fait par l'une ou l'autre des formules
iF(c, (p) = i(i+*)E(c%^*)— E(c,(p) + i(i— i)sin(po, iAT(c,(p)=E(c, (p) — (i + c)E(c',(p') + ^sinÇj
les erreurs sur les fonctions E se trouvent notablement augmentées dans l!expression de F, à cause de la petitesse du diviseur b dans une formule , ou î ^ dans l'autre; de sorte qu'on ne pourra se flatter d'obtenir la fonction F avec la même précision que les Tables donnent les fonctions E.
