CHAPITRE VI

Méthode trigonométrique pour construire ^ d après un module

déterminé j la Table des fonctions F ^f E.

783. On peut construire cette Table par une métliode qui n'exige que

des calculs trigonométriques très simples ; voici en quoi consiste cette

méthode :

Supposons qu'après avoir pris un module c à volonté , on veuille trou^

Ter l'amplitude (p qui réponde à une fonction F ^ale à -~ de la fonctioii complète F' ; cette amplitude se déterminera par la méthode de l'art. 71, ai l'on a c* < 7 , ou si c* étant > \ , n'est pas trop rapproché de l'unité ; et par la méthode de l'art. 76, si i — c* est très petit.

Soit dans l'un et l'autre cas, a ou «e, la valeur de l'amplitude qui donne F(a)= j^F', nous appellerons successivement a. , Oj^ a^, les amplitu* des qui donnent F («.) = aFa, F («,) = 3Fa, F {a^ = 4Fa, etc., jusqu'à F(a^) = aooF(a) = F'.

Cela posé , la Table que nous voulons construire contiendra , dans la première colonne, les nombres i , 2,3... .200, qui représentent les fonctions F croissant par intervalles égaux , depuis la fonction F (a) s= -^ F' jusqu'à la fonction complète F' ; dans la seconde colonne seront les valeurs correspondantes de l'amphtude, savoir, a,, a^, a^ jusqu'à a^* ou ~nc. Cette Table sera en quelque sorte l'inverse de celle que nous avons construite par la première méthode , et dans laquelle les amplitudes croissent par intervalles égaux ; mais la théorie des fonctions F fournit des formules très élégantes pour construire la Table dans ce nouveau système.

733. Désignons par (p un terme quelconque a. de la suites,, a^, «9, etc., en sorte qu'on ait F^ = /^Fa ; nous ferons par analogie F(^Q = (/i-f-i) Fa,

Fç* = (#i + 2)Fa, et dans le sens inverse, F (^**)==(/i— i )Fa,

F^** = (/i — 3) Fût, etc. Cela posé, soit A (a) ou |/(i — c* sin' a) = a, l'équation générale de l'art. 22 , deviendra

T. n. II

tang ( i (p' + i (p«) = a taDg(p.

Mais on a 9' — 3^ + ^" = ^^" i cette équation peut donc se mettre

sous la forme

tang ((p + i «T'r) = a tang ^:

(m déduit de là,

tangK'<p-=^^^H^.

Soit a s=s — ri ou it = — ; — , cette ëquation deviendra

et on en déduit ultérieurement ,

sin 1 cTV = — A: sin (atp + i <f*(p^).

Cette équation fait voir que 7 cT*^** est toujours négatif; faisant donc •5 J^Ç^ 5= — û», on aura

sin â» = ^ sin ( 2^ — a>).

Or ^ est une quantité très petite du second ordre par rapport à « y puisqu'on a

c sina =s— ^-T , et qu'ainsi A: se déduit de csina, suivant la même loi

que le module (f se déduit du module c. On voit donc que (» restera toujours une quantité très petite du second ordre ; son maximum aura Heu à peu près lorsqu'on a ^ = 4^*, et ce maximum sera à peu près =zk.m. =: (^ ^ sin a)* = ^ c^cL sin a; dans les points extrêmes, lorsque ^^ o ou ^ z^jTFy la quantité e» sera nulle.

L'équation sin c» =: A: sin (2^ — cù) est Ëicile à résoudre dans les différeus cas , avec toute l'approximation nécessaire ; on peut d'abord négliger €ê dans le second membre, ce qui donnera sin âi = & sin 2^, ou simplement. O) = A: sin a^ ; ensuite pour avoir une plus grande approximation , on substituera cette valeur dans le second membre. Soit alors A: sin (2^-— â»)=/7, on aura sin 6^ = /?; donc si on appelle R'' le nombre de secondes contenues dans le rayon , afin que R'^û) exprime le nombre de secondes de l'arc oà j on aura

R"«=R"p(,+^^+i:|.|* + elc.)

On déduit aussi immédiatement de la formule tang {tp -f-î cT*^) s=â tang^, une autre valeur de 7 ^*^ ou o», savoir :

» = — 7 J^^* = Ar sin 3^ — ^ A:* sin 4^ + î ** ^^^ ^^ ~ etc.