CHAPITRE VI

Mais cette expression est en général moins convergente que la précédente , et elle parait moins facile à calculer , parce qu'elle exige de plus qu'on cherche dans les Tables les logarithmes de sin 4^9 sin6^, etc.

Les valeurs qu'on devra donner à <p seront successivement a., «t^, «s, etc. On calculera les valeurs correspondantes de 20ù , qui seront en même temps celle de cT*^ ; et comme la première valeur de Sç , celle qui répond à ^ = o, est égale à a , on pourra former en entier la colonne des valeurs de ^.

Mais pour vérifier les calculs et empêcher les erreurs de s'accumuler, il sera bon d'avoir une formule qui fasse connaître directement une différence première quelconque cT^.

Or on a vu (art. i8) que si l'on fait tang *>!, = A (a) tang ^ et tang /£= A (^) tang a, on aura ^' = 4 +ft, mais d'un autre côté, 4 = ^+1 J^*^* et ^' = ^ + cT^ ; donc ju = <f ^ — ^ J^*^* = cT^ -+- « ; donc on a pour déterminer directement J"^, l'équation

tang ( cT^ + â>) s= A {(p) tang a.

On voit en même temps, par cette équation, que comme œ est toujours positif, et A((p) toujours moindre que l'unité , on aura par ces deux raisons, J\p <^oi. Ainsi toutes les quantités qui entrent, tant dans la colonne des différences secondes J^*^, que dans celle des différences premières J'^j seront plus petites que des limites données, et ne peuvent par conséquent éprouver que de petites anomalies.

On obtiendra enfin une vérification complète de tous les calculs, lorsque le dernier terme de la colonne des ^, savoir a^oo? se trouvera égal à go*. On peut se procurer d'autres vérifications dans cet intervalle, en calculant la valeur de (p qui donne F^ égale à la moitié ou à une autre partie exprimée exactement en 200**°^ de la fonction complète F- .

734* Une fois qu'on a déterminé la constante et par les méthodes directes, on voit que la Table entière relative à la fonction F, peut être calculée par une seule formule trigonométrique simple et rigoureuse, sa* voir, sin û> = A: sin ( 2^ — a). Eu effet, cette formule seule servira à former la colonne entière des différences secondes 3 et comme on connaît d'avance le premier terme des différences premières J'Çy lequel est égal à a, on fonnera de suite la colonne entière des difiSérences premières cT^, et de li celle des amplitudes ^, puisque le premier terme =0.

Le problème est donc résolu complètement par la seule équation mentionnée; mais pour se procurer de loin à loin des vérifications, on a une

seconde formule trigonométrique , savoir,

tang (cT^ + a) = A(^) tang a ,

laquelle servira à calculer directement la diflférence première J^^. Elle montre immédiatement qu'une valeur approchée de J^p est cHp = aA (^) -— ai.

Il Ëiut maintenant examiner, i^. comment on interpolera la Table des fonctions F, calculée pour une valeur déterminée du module; 2^. comment on interpolera le système des Tables particulières, calculées pour les difFérens angles du module, de demi«-degré en demi-degré.

735. Dans le premier cas, si l'on cherche une valeur de (p qui réponde à une valeur donnée de F, il faudra d'abord exprimer F en parties 200

de Fî. Soit donc F = --ï— F", n étant un entier et a: une fraction.

ièmri

Soit A la valeur de ^ qui répond au nombre n de la première colonne , et soient JA, cT^A, J^'A les différences successives placées sur la même ligne que A, la valeur de l'amplitude f sera^ suivant les formules ordinaires,

(p = A+a:crA+^^^^^^^^^cr'A + '^''^~';'^^^cr>A + etc,

Si au contraire on demande la valeur de F qui réponde à une valeur donnée de f , on verra d'abord au premier coup d'œil quel est le nombre de la Table qui doit être pris pour A ; le nçmbre correspondant n se trouvera dans la première colonne, vis-à-vis de A; ainsi, pour avoir la valeur de

F = ^ F\ il ne s'agira que de déduire x de l'équation précédente où

l'on connaît ^, A, cTA, J^*A, J^'A : or cette résolution n'offre aucune dif* ficulté} car on a

la première valeur approchée de x est donc TT ; on s'en servira pour

substituer dans le dénominateur et obtenir une seconde valeur plus approchée de X'y cette seconde en donnera semblablement une troisième, et ainsi de suite.

786. Venons maintenant à la seconde question. Nous supposons qu'il existe une suite de Tables construites pour tous les langles 8 du module, de demi-degré en demi-degré , dans chacune desquelles on ti*ouve l'angle 9